Viện thép và hợp kim Moscow

57

Tùy chọn 2

1. Chứng minh tính chính xác
   $$\sin \alpha - \sin (\alpha + \beta) + \sin \beta = 4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\beta}{2}.$$
2. Giải phương trình
   $$|3x - 2| + x = 11.$$
3. Một quả cầu có bán kính $r$ được nội tiếp trong một paramid tứ giác đều. Tìm thể tích của paramid nếu mặt bên tạo một góc φ với mặt phẳng đáy.
4. Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy được tính bằng công thức $S_n = \frac{2n^2 + n}{2}$. Chứng minh rằng dãy số là một cấp số cộng và tìm số hạng thứ 20 của nó.
5. Tìm điểm cực trị của hàm số $y = 4x \cdot e^x - 4e^x - x^2 + 2$.

Bài thi vấn đáp

1. Tính tan 510°.
2. Với những giá trị nào của số $x$ thì các số $\frac{1}{x+2}, \frac{1}{x+1}, \frac{1}{x-1}$ là ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng? Tìm số hạng ngũ thập phân của cấp số này.
3. Giải phương trình
   a) $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$;
   b) $x + \sqrt{4x-3} = 6$;
   b) $3 \cos 2x + 8 \sin^2 x = 7 \sin x$.
4. Với những giá trị nào của $a$ phương trình
   $$ax^2 - (4a+1)x + 5a + 2 = 0$$
   có một gốc duy nhất?
5. Vẽ đồ thị hàm số
   a) $y = \log_2(4^x)$;
   b) $y = |\lg|x - 1|$;
   b) $y = 2 \sin |x - \frac{\pi}{4}|$.
6. Là chức năng
   $$y = \frac{1}{5} x^5 + \frac{2}{3} x^3 + 5x - \frac{1}{15}$$
   tăng dần?
7. Tìm điểm cực trị của hàm số
   $$y = 2x\sqrt{x} + 3x - 12\sqrt{x} + 1$$.
8. Các điểm $A$ (1; 2; 4), $B$ (2; 4; 3), $C$ (3; 3; 2), $D$ (4; 5; 1) có phải là đỉnh của hình bình hành không?

Vật lý
Bài thi vấn đáp

1. Chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo chuyển động theo quỹ đạo tròn ở độ cao $h$ tính từ bề mặt Trái đất (bán kính Trái đất $R_3$) vượt quá chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh ở quỹ đạo Trái đất thấp ($h=0$) bao nhiêu lần?
2. Các bình hình cầu có thể tích $V_1 = 200$ cm$^3$ và $V_2 = 100$ cm$^3$, chứa đầy oxy ở nhiệt độ $t = 27^\circ C$ dưới áp suất $p_0 = 760$ mm pt. Art., được kết nối bằng một ống, bên trong có một vách ngăn xốp định vị nhiệt, đảm bảo áp suất đồng đều trong các bình. Sau đó, bình thứ nhất được làm nóng đến nhiệt độ $t_1 = 100^\circ C$, và bình thứ hai được làm lạnh đến $t_2 = 0^\circ C$. Bỏ qua sự giãn nở nhiệt của mạch máu, xác định áp suất thiết lập trong hệ thống.
3. Khi một điện trở có điện trở $R_1 = 2$ Ohm, $R_2 = 6$ Ohm và $R_3 = 1,5$ Ohm được mắc như một “ngôi sao” và nằm trong mục đích tạo ra dòng điện do pin tạo ra có điện áp $U = 6$ V. Bỏ qua điện trở của dây nguồn, hãy tìm cường độ dòng điện tổng chạy qua pin và cường độ dòng điện trong mỗi điện trở. Những thông số mạch khác có thể được xác định?
4. Một người thợ lặn cao $a = 1,5$ m, đứng trên đáy nằm ngang của một bể chứa nước, nhìn thấy một phần đáy phản chiếu từ mặt nước, nằm ở khoảng cách lớn hơn $s = 15$ m. Người thợ lặn đang ở độ sâu nào nếu chỉ báo độ thấm nước là $n = 1,33$?

Đã chuẩn bị xuất bản
V. A. Vinokurov, S. I. Metskov, A. A. Simonov

Viện Mátxcơva
thép và hợp kim

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$9^{x-1} = 8 \cdot 3^{x-2} + 1$$.
2. Giải bất đẳng thức
   $$1 - \lg x > \lg (x-3)$$.
3. Giải phương trình
   $$\text{ctg} x - \text{tg} x = 4 \cos 2x$$.
4. Tam giác $ABC$ quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng của tam giác và đi qua đỉnh $A$ song song với đường phân giác của góc $ABC$. Tìm thể tích và diện tích toàn phần của vật quay nếu $|AB| = 3, |AC| = 5, |BC| = 6$.
5. Một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất được nội tiếp trong một hình khép kín được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 27 - 6x - x^2$ và trục abscissa sao cho hai đỉnh của góc vuông nằm trên đồ thị của hàm số và hai đỉnh còn lại nằm trên trục abscissa. Tìm tọa độ các đỉnh và diện tích góc vuông trên đồ thị của hàm số.

Tùy chọn 2
(phiên bản gần đúng cho kỳ thi sắp tới vào năm 1983)

1. Tính toán không có bảng
   $$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}: ((\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}))$$.
2. Giải phương trình
   $$2x + \sqrt{3x - 2} = 3.$$

58

3. Tìm số mục tiêu lời giải của bất đẳng thức
   $$5 + \frac{17}{x-2} < \frac{2}{x+3}.$$

4. Giải phương trình
   $$\log_5 x + \log_5 (x-4) = 1.$$

5. Một hình thang đều có độ dài đáy là 21 và 9, chiều dài và chiều cao là 8. Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

6. Tìm tổng bình phương các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $y = x^3 - 3x^2 + 3x + 2$ trên khoảng [-2; 2].

7. Xác định số lời giải của phương trình $(1 + \cos x) \text{ ctg } x = \sin 2x$.
   trên khoảng $] - \frac{3}{2}\pi; \frac{\pi}{3}$.

8. Tổng của một hình chữ nhật tam giác 8. Tìm tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.

9. Tìm $f'(\frac{\pi}{4})$ nếu $f(x) = \sqrt{2} \sin^3 x$.

10. Trong hình chữ nhật tam giác $ABCD$, các mặt $ABC$ và $BCD$ là các hình tam giác đều. Góc giữa các mặt này là $\phi$. Tại giá trị nào của $\phi$ tổng diện tích bề mặt của các đường sẽ lớn nhất? Trong đáp số không viết $\phi$ mà viết $\frac{1}{\cos \phi}$.

Vật lý

Năm 1982, kỳ thi tuyển sinh môn vật lý tại MISIS được thực hiện dưới hình thức viết. Mỗi người nộp đơn được cung cấp một lựa chọn riêng có chứa mười bài toán trong các phần vật lý khác nhau. Kết quả công việc được xử lý trên máy tính.

Lựa chọn

1. Điểm vật chất của chuyển động thẳng từ điểm $A$ đến điểm $B$. Nửa đầu của đường đi, điểm di chuyển với tốc độ $v_1 = 20$ m/s và nửa sau - với tốc độ $v_2 = 30$ m/s. Xác định vận tốc trung bình $v$ của chuyển động của điểm trong tiết diện $AB$.

2. Hai thanh có khối lượng lần lượt là $m_1 = 1$ kg và $m_2 = 2$ kg, nằm trên một mặt phẳng nằm ngang và được nối với nhau bằng một sợi dây không giãn và không giãn, có khả năng chịu được số đứt tối đa $F = 5$ N. Xác định lực cực đại $F_M$ mà nhờ lực đó bạn có thể kéo một khối có khối lượng $m_2$ dọc theo một đường thẳng là phần tiếp theo của sợi chỉ mà sợi chỉ này không bị đứt. (Không có tranny giữa các thanh và bề mặt.)

3. Một vật phẳng nhỏ bắt đầu chuyển động hướng lên trên dọc theo mặt phẳng trên đầu với tốc độ ban đầu là $v_0 = 10$ m/s. Xác định khoảng cách $l$ mà vật sẽ di chuyển dọc theo mặt phẳng trên không cho đến khi dừng hẳn nếu góc của mặt phẳng trên không với đường chân trời là $\alpha = 30^\circ$ và hệ số ma sát giữa vật và bề mặt của mặt phẳng trên không là $\mu = 0,6$.

4. Trong một ống thủy tinh hẹp, một đầu bịt kín, có không khí, được khóa bằng một bàn ruti닐 có chiều dài $l = 20$ cm. Khi ống đứng thẳng đứng với đầu hướng lên trên thì thể tích không khí dưới bàn ruti닐 bằng $V_1 = 1,5$ cm$^3$. Thể tích $V_2$ của không khí bị mắc kẹt sẽ chiếm bao nhiêu khi ống ở vị trí nằm ngang, nếu áp suất khí quyển là $p_a = 750$ mm Hg. Nghệ thuật., và nhiệt độ không khí không đổi?

5. Một viên đạn chì bay với vận tốc $v = 300$ m/s trúng một tấm thép và bị bỏ lại. Nhiệt độ của viên đạn tăng bao nhiêu độ $\Delta t$ nếu $\alpha = 40\%$ động năng của nó tại thời điểm va chạm được dùng để làm nóng tấm kim loại và không khí xung quanh?

6. Hai điện tích điểm $q_1 = 3,2 \cdot 10^{-10}$ Kl và $q_2 = 8 \cdot 10^{-12}$ Kl đặt trong chân không ở khoảng cách $r_1 = 72$ cm. Phải thực hiện công việc gì $A$ để hóa lỏng chúng đến khoảng cách $r_2 = 32$ cm?

7. Một tụ điện không khí phẳng có khoảng cách giữa các bản $d_1 = 1$ cm, tích điện đến hiệu điện thế $U_1 = 100$ V, sau đó ngắt kết nối khỏi mạng. Xác định hiệu điện thế $U_2$ giữa các bản tụ điện nếu chúng cách nhau một khoảng $d_2 = 2$ cm.

8. Bộ phận làm nóng của ấm đun nước điện bao gồm hai vòng xoắn ốc có điện trở bằng nhau. Khi nối song song các vòng xoắn ốc và cắm chúng vào mạng, nước trong ấm sẽ sôi trong $t_1 = 3$ phút. Sau bao lâu $t_2$ nước sẽ sôi, có cùng khối lượng và cùng nhiệt độ ban đầu, nếu các vòng xoắn ốc của lò sưởi được mắc nối tiếp và được kết nối với cùng một mạng?

9. Một thanh thẳng đứng dài $l = 2$ m, được bao phủ hoàn toàn bằng nước với chỉ số Propolyme $n_B = 1,33$, tựa trên mặt ngang của bể. Xác định độ dài của bóng $x$ tính từ que ở đáy bể nếu tia nắng chiếu xuống mặt nước một góc $\alpha = 30^\circ$.

10. Bề mặt kali thể hiện một luồng ánh sáng đơn sắc có bước sóng $\lambda = 0,331 \cdot 10^{-6}$ m. Xác định tốc độ $v$ của các electron thoát ra khỏi bề mặt kali nếu công năng của electron là $A_B = 2,2$ eV.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
V. G. Razumeiko, A. G. Tokaev

59

Giao thoa sóng

1. $d_{\min} = \frac{c}{4\sqrt{n-1}} = 2$ xem
2. $l \sim \cos^2 \left( \frac{2\pi}{l} \Delta L \right)$, trong đó $l = \frac{cL^2}{2\sqrt{h_2-h_1}} \times \frac{1}{(2h_0+h_1+h_2)} = 180$ m là khoảng cách mà pha dao động thay đổi $2\pi$ (có thể tìm khoảng cách $h_0$ từ Hình 1:
   $$h_0 = R_3(1-\cos \alpha) \approx \frac{R_3\alpha^2}{2} \approx \frac{R_3}{2}\left(\frac{L}{2R_3}\right)^2 \approx 80 \text{ км}.$$
   Hình 1.
3. $U \sim \cos \frac{\pi L \sin \omega t}{\lambda} \sim \cos \frac{\pi L \omega t}{\lambda} \sim \cos \frac{2\pi}{T} t$, trong đó $T = \frac{2\lambda}{L\omega} \approx 2,3$ phút ($\omega$ là vận tốc góc quay của Trái đất).

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

Toán học
Tùy chọn 1

1. $a \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5}{6} \pi + 2\pi k \right] (k \in \mathbb{Z})$. Lời giải. Hệ thống này tương đương với hệ thống
   $$\begin{cases} y = 2 \sin a \cdot \cos \pi x \\ (4 \sin^2 a \cdot \cos^2 \pi x + 1) \sin a = \\ = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} + x + \frac{1}{2x^2} \right). \end{cases}$$
   Vì $\cos \pi x \leq 0$ cho $x \in \left[ 1; \frac{3}{2} \right]$, hệ thống (1) có lời giải duy nhất trong miền đang được xem xét khi và chỉ khi $\sin a > 0$ và phương trình thứ hai của hệ thống có lời giải duy nhất trên khoảng $[1; \frac{3}{2}]$.

Khi $x$ tăng từ 1 lên $\frac{3}{2}$, hàm ở vế trái của phương trình này sẽ giảm từ $\sin a + 4 \sin^3 a$ lên $\sin a$ và hàm ở vế phải tăng từ 1 lên $1 \frac{2}{27}$. Do đó, phương trình đang nghiên cứu có lời giải duy nhất trên $[1; \frac{3}{2}]$ khi và chỉ khi $4 \sin^3 a + \sin a \geqslant 1$ (Hình 2). Chức năng $4z^3 + z - 1$

Hình 2.
tăng thêm $R$ và trở thành 0 tại $z = \frac{1}{2}$. Vì vậy, $4 \sin^3 a + \sin a \geqslant 1 \Leftrightarrow \sin a \geqslant \frac{1}{2}$.
2. $x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3} \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
3. $x = \pi + 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$. Gợi ý. Phương trình tương đương với hệ
$$\begin{cases} 2 + \cos x \leq \cos^2 x \\ \cos x \leq 0. \end{cases}$$
4. $\frac{1}{4}$. Gợi ý. $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$. Thể hiện $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DE}$.
5. $\frac{1}{4} a^3$. Gợi ý. Đặt $F$ là trung điểm của cạnh $BB'$, $S$ là đỉnh thứ tư của phần. Hình chóp $A'DEFS$ là sự kết hợp của hai cặp có thể tích bằng nhau với đỉnh $S$—cặp $SA'ED$ và cặp $SA'EF$.

Tùy chọn 2

1. $T = \frac{1}{g} (v \sin a + \sqrt{v^2 \sin^2 a - 2g(h - H)})$ tại $h < H$, $T = 0$ tại $h = H$ và $a \leqslant 0$, $T = \frac{1}{g} (v \sin a \pm v \sin a)$ tại $h = H$ và $a > 0$, $T = \frac{1}{g} (v \sin a \pm \sqrt{v^2 \sin^2 a - 2g(h - H)})$ tại $H < h < H + \frac{1}{2g} v^2 \sin^2 a$ và $a > 0; T = \frac{1}{g} v \sin a$ tại $h = H + \frac{1}{2g} v^2 \sin^2 a$ và $a > 0;$ tại $h > H$, $a \leqslant 0$ và tại $h > H + \frac{1}{2g} v^2 \sin^2 a$, $a > 0$ lời giải không. Gợi ý. Trong hệ tọa độ như hình 3, mũi tên tại thời điểm $t$ sẽ là

60

ở điểm có tọa độ $(vt \cdot \cos \alpha; vt \cdot \sin \alpha - \frac{1}{2} gt^2)$. Thời gian cần thiết $T$ là nghiệm không âm của phương trình $vT \cdot \sin \alpha - \frac{T}{2} gT^2 = h - H$.

2. 0. Gợi ý. $f'$ là hàm số lẻ.

3. $x = \frac{2\pi}{7} k (k = -1, -2, -3, -4, -5, -6)$.

4. $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{-1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$. Gợi ý. $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$.

5. $\frac{a^3 tg^3 \alpha}{(1 + tg \alpha)^3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$. Gợi ý. Chỉ cần vẽ một phần của paramid trên mặt phẳng SOCK (S là đỉnh của paramid, O là đáy của chiều cao của nó, K là điểm giữa của một trong các cạnh của đáy).

Tùy chọn 3.

1. $4 \frac{\Gamma}{CM^3}$.

2. $\frac{3}{2} h$.

3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, x_2 = -\arctg \frac{5}{3} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

4. $\{ (4; \sqrt{2}), (4; -\sqrt{2}) \}$.

5. $\left\{ \log_{\frac{13}{\sqrt{13}}} \frac{1350}{1183} \right\}$.

Tùy chọn 4

1. 16 giờ

2. $\left\{ \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \right), \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) \right\}$.

3. $\frac{11 - 3a}{2}$.

4. 1. Gợi ý. Tạo một biểu đồ.

5. $\frac{\pi}{8} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin^3 \alpha}$.

Vật lý

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Hình 4 thể hiện các lực tác dụng lên khối (màu đỏ) và lên nêm (màu xanh). Biểu thị các hình chiếu gia tốc của khối $\vec{a}_6$ lên phương ngang và phương thẳng đứng thông qua $a_x$ và $a_y$ và hình chiếu gia tốc của khối nêm $\vec{a}_k$ lên phương nằm ngang thông qua $a$, ta thu được

$$F \cos \alpha - N \sin \alpha = ma_x,$$
$$F \sin \alpha + N \cos \alpha - mg = ma_y,$$
$$F - F \cos \alpha + N \sin \alpha = Ma.$$

Đồng thời

$$a_y = (a_x - a) tg \alpha.$$

Giải hệ bốn phương trình cùng nhau, ta tìm được

$$a = \frac{F(1 - \cos \alpha) + mg \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{M + m \sin^2 \alpha},$$

$$a_x = \frac{F(m \sin^2 \alpha + M \cos \alpha) - Mmg \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{m(M + m \sin^2 \alpha)},$$

$$a_y = \frac{F \cos \alpha (M + m (1 - \cos \alpha)) - mg (M + m) \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{m(M + m \sin^2 \alpha)} tg \alpha.$$

Để khối chuyển động hướng lên trên theo mặt nghiêng của nêm thì phải thỏa mãn các điều kiện sau:

$$a_x \geqslant a, N \geqslant 0.$$

Từ đây, sử dụng các quan hệ trước đó, ta đi đến bất đẳng thức

$$\frac{m(M + m) \sin \alpha}{M + m (1 - \cos \alpha)} g \leqslant F \leqslant \frac{M \cos \alpha}{(1 - \cos \alpha) \sin \alpha} g.$$

Có thể dễ dàng xác minh rằng các biểu thức thu được cho giá trị đúng trong các trường hợp giới hạn: a) $M \rightarrow \infty$, b) $a \rightarrow 0$ và b) $a \rightarrow \pi/2$, khi bài toán trở nên tầm thường và đáp số có thể được viết một cách mơ hồ.

2. Không thể đưa ra một giá trị duy nhất đáp số vì dữ liệu bài toán không đủ cho việc này.

a) Nếu chúng ta cho rằng chất khí là lý tưởng và khối lượng của nó không thay đổi thì nhiệt độ của chất khí sẽ giảm. Điều này bất ngờ xảy ra sau phương trình trạng thái và định luật giãn nở khí đã cho.

b) Nếu khí lý tưởng nhưng khối lượng của nó thay đổi thì có thể có trạng thái sôi $pV = mRT/\mu$, ta có

$$\frac{mVRT}{\mu} = \text{const.}$$

Điều này cho thấy $T$ phụ thuộc vào giá trị của $mV$. Nếu $mV$ phát triển thì $T$ sẽ tiêu diệt và ngược lại. Nếu $mV$ không đổi thì nhiệt độ không thay đổi.

b) Nếu chất khí không lý tưởng thì nó có thể nóng lên ở khối lượng không đổi.

61

Thật vậy, phương trình rỗng trạng thái của một mol khí có dạng $p(V-b) = RT$, trong đó $b$ là một hằng số liên quan đến kích thước nội tại của các phân tử khí. Sau đó thay $p = RT/(V-b)$ vào định luật phân phối khí sẽ cho

$$\frac{RTV^2}{V-b} = \text{const},$$

do đó nhiệt độ khí sẽ tăng nếu $V^2/(V-b)$ giảm trong quá trình giãn nở. Dễ dàng chứng minh rằng điều này sẽ xảy ra với $V < 2b$ (lưu ý rằng $V$ luôn lớn hơn $b$).

3. Một vôn kế nối với cực của nguồn thứ hai hiển thị điện áp

$$U_2 = \mathcal{E}_2 - Ir_2,$$

ở đâu $I = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R}$.

Nếu dòng điện $I$ trong mạch nhỏ hơn dòng điện ngắn mạch của phần tử thứ hai $I_2 = \mathcal{E}_2/r_2$ thì $U_2 > 0$ và khi mở công tắc, vôn kế sẽ hiển thị EMF của phần tử thứ hai $\mathcal{E}_2$. Nếu $I > I_2$ thì $U_2 < 0$. Điều này có nghĩa là khi mở chìa khóa, vôn kế sẽ quay theo hướng ngược lại. Trong trường hợp này, một thiết bị có thang đo trung bình bằng 0 sẽ hiển thị điện áp bằng $\mathcal{E}_2$. Nếu khi chìa khóa đóng, vôn kế chỉ số 0 (trong trường hợp này là $I = I_2$), thì khi chìa khóa mở, vôn kế có số 0 trên thang đo ở giữa sẽ hiển thị $\mathcal{E}_2$, nhưng chỉ phóng ra các hướng khác nhau.

4. Trong các phép tính gần đúng của quang học hình học, đại lượng mong muốn

$$\alpha = \frac{F^2}{(L-F)^2},$$

bất kể giá trị nào trong số $F$ và $L$ lớn hơn. Đồ thị phụ thuộc $\alpha = \alpha(L)$ và $\alpha = \alpha(F)$ có dạng như Hình 5.

Hình 5.

Trong thực tế, thấu kính không hội tụ các tia song song vào một điểm mà tạo ra cái gọi là điểm nhiễu xạ. Do đó, nếu kích thước của chỉ báo nhỏ hơn kích thước của điểm nhiễu xạ trên màn hình ở $L \rightarrow F$ thì sẽ không có điểm ngắt trên biểu đồ. Nếu kích thước của chỉ báo lớn hơn kích thước của điểm nhiễu xạ, thì đối với câu hỏi đáp số bạn cần biết chỉ báo hoạt động như thế nào trong trường hợp chỉ một phần bề mặt của nó được chiếu sáng.

Tùy chọn 2

1. a) Xét trường hợp sau khi lấy ra, quả bóng tiếp tục chuyển động cùng chiều như trước khi lấy ra. Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có $mv = mv/2 + MV$, và vì tốc độ của quả bóng có khối lượng $M$ sau khi loại bỏ $V \geq v/2$ nên $m \geq M$. Rõ ràng là ở $m = M$ cú đánh hoàn toàn không đàn hồi và sau cú đánh, các quả bóng chuyển động cùng nhau với tốc độ $v/2$. Tỉ số động năng sau va chạm và động năng ban đầu bằng

$$\alpha = \frac{m(v/2)^2/2 + MV^2/2}{mv^2/2} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{m}{M} \right).$$

Giá trị tối đa $\alpha = 1$ đạt được ở một khoảng cách hoàn toàn đàn hồi, từ đó chúng ta thu được $m \leq 3M$ đó. Giá trị tối thiểu $\alpha$ tương ứng với các khoảng cách trên khoảng cách tuyệt đối không co giãn mà tại đó $\alpha = 1/2$. Vì vậy, trường hợp khoảng cách có thể xảy ra khi $M \leq m \leq 3M$; đồng thời $1/2 \leq \alpha \leq 1$.

6. Để quả bóng có khối lượng $m$ chuyển động theo hướng ngược lại sau cú va chạm. Sau đó $mv = -mv/2 + MV$, từ đó $V = 3mv/(2M)$ và $\alpha = \frac{1}{4} \left( 1 + 9 \frac{m}{M} \right)$.

Rõ ràng là $m > 0$, nên $\alpha > 1/4$. Ở mức $m = M/3$ (loại bỏ hoàn toàn đàn hồi) $\alpha = 1$. Vì vậy, $1/4 < \alpha \leq 1$ tại $0 < m \leq M/3$.

2. Đáp số: $n = 4$. Gợi ý. Từ điều kiện bài toán suy ra nhiệt độ của khí ở trạng thái cuối cùng giống như ở trạng thái ban đầu. Do đó, nội năng của khí vẫn giữ nguyên và toàn bộ lượng điện năng được cung cấp sẽ thực hiện công việc phân phối khí.

3. Một điểm định tính là số đo ampe có thể tăng hoặc giảm. Ví dụ, ở $\mathcal{E}_2 \approx 0$ dòng điện trong mạch sẽ tăng, vì khi đóng phím, một phần của mạch sẽ bị đoản mạch. Ở $\mathcal{E}_1 \approx 0$, dòng điện trong mạch sau khi đóng phím thực tế bằng 0.

Bây giờ chúng ta có được lời giải gọn gàng. Trước khi đóng chìa khóa, cường độ dòng điện trong mạch bằng

$$I = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R},$$

và sau khi đóng cửa -

$$I' = \frac{\mathcal{E}_1}{r_1 + R}.$$

Đặt dòng điện $I$ nhỏ hơn dòng điện ngắn mạch của phần tử thứ hai $I_2 = \mathcal{E}_2/r_2$:

$$\frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R} < \frac{\mathcal{E}_2}{r_2}.$$

Khi đó dễ dàng chứng minh được điều đó

$$\mathcal{E}_2 > \frac{\mathcal{E}_1}{r_1 + R},$$ hoặc $$\frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R} > \frac{\mathcal{E}_1}{r_1 + R},$$

nghĩa là dòng điện trong mạch giảm sau khi đóng chìa khóa. Với bất đẳng thức ngược lại, khi $I > I_2$ thì dòng điện trong mạch sẽ tăng. Nếu đẳng thức $I = I_2$ được thỏa mãn thì dòng điện trong mạch sẽ không thay đổi.

4. Chiếc gương đóng một vai trò kép. Đầu tiên, nó hạn chế chùm ánh sáng mặt trời hình thành các đốm trên màn hình (các điểm nhiễu xạ, khi đó đối với đáp số câu hỏi không liên quan). Do đó, khoảng cách điện áp chùm tia với một lỗ có hình dạng và kích thước giống như gương là đủ.

Lời giải bài toán dựa trên thực tế là ánh sáng từ một nguồn tạo ra hình ảnh của nguồn đó nếu màn hình không phản hồi,

62

Hình 6.

và đưa ra hình ảnh của lỗ nếu màn hình đóng lại. Hãy xem xét cả hai trường hợp một cách chi tiết.
a) Để màn ở gần lỗ. Theo phép tính gần đúng đầu tiên, Mặt trời có thể được coi là nguồn chính xác của S (Hình 6). Điểm hoàn hảo trên màn hình là hình chiếu trung tâm của lỗ lên mặt phẳng của màn hình. Tâm của hình chiếu S nằm rất xa nên hầu như tất cả các tia đều song song, hình dạng và kích thước của vùng được chiếu sáng trùng với hình dạng và kích thước của lỗ. Khi pháp tuyến của mặt phẳng màn hình nghiêng một góc β (so với hướng với Mặt trời), kích thước của điểm theo hướng tương ứng tăng: $d' = d/\cos \beta$. Khi pháp tuyến của mặt phẳng lỗ nghiêng một góc γ thì kích thước điểm giảm: $d' = d \cos \gamma$. Trong trường hợp tổng quát $d' = d \cos \gamma/\cos \beta$. Do đường kính góc hữu hạn của Mặt trời ($\alpha \approx 0,01$), ranh giới của bóng từ các cạnh của lỗ sẽ bị mờ. Chiều rộng vùng tranh chấp một phần (Hình 7) $d'' = \alpha L$. Do đó, những gì đã nói ở trên là đúng với điều kiện $aL \ll d$.

Hình 7.

Thay $\alpha = 0,01$, ta được $L \ll 100d$. Nếu kích thước của gương là $d \sim 10$ cm thì $L \ll 10$ m. Vì vậy, trường hợp này xảy ra nếu khoảng cách từ gương đến màn là $L \ll 10$ m.
6) Để màn hình cách xa lỗ hơn. Khi đó lỗ có thể được coi là chính xác theo phép tính gần đúng đầu tiên; hình dạng trường của nó không đóng một vai trò nào. Điểm tối trên màn hình là hình ảnh của Mặt trời trong cái gọi là camera obskrura. Nó biểu thị dòng chảy của một hình nón tròn của các tia mặt trời có đỉnh nằm trong lỗ và góc $\alpha$ ở đỉnh bằng đường kính góc của Mặt trời. Nếu màn vuông góc với trục của hình nón các tia thì điểm đó là một đường tròn có đường kính $d' = \alpha L$. Khi màn hình nghiêng một góc $\beta$, hình tròn này sẽ biến thành hình elip có trục chính là $d'' = d'/\cos \beta = \alpha L/\cos \beta$. Khi kích thước của cái lỗ tăng lên, sự thật được chiếu sáng, nhưng đồng thời các cạnh của nó cũng trở nên mờ nhạt hơn. Đây là vị trí đặt đường kính lỗ $d$. Do đó, trường hợp này được thực hiện khi $d \ll \alpha L$, tức là $L \gg 100d$. Dành cho màn hình $c d \sim 10$ cm $L \gg 10$ m.

Bài toán sàng lọc miệng

1. $\mu = \text{ctg}(\alpha + \beta), \alpha + \beta < \pi/2$.

2. $s = \frac{F(F - \mu mg)}{2\mu m^2} t^2, F > \mu mg$.

3. Các ngôi sao chuyển động theo một vòng tròn có tâm chung là khối tâm của hệ; khối tâm có thể chuyển động với tốc độ không đổi. Nếu khoảng cách giữa các ngôi sao là $l$ thì bán kính của hình tròn
   $$r_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}, r_2 = \frac{m_1 l}{m_1 + m_2}.$$
   Thời gian điều trị
   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l^3}{G(m_1 + m_2)}}$$
   giống nhau đối với cả hai ngôi sao. Tốc độ vòng tròn
   $$v_1 = \frac{2\pi r_1}{T}, v_2 = \frac{2\pi r_2}{T};$$
   tăng tốc -
   $$a_1 = \frac{v_1^2}{r_1}, a_2 = \frac{v_2^2}{r_2}.$$

4. $A = m/\mu R\Delta T$.

5. $Q = C_p T = (C_V + R) T, A = RT$, trong đó $T$ là nhiệt độ khí ban đầu.

6. $C_4 = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$; cũng có thể xảy ra các trường hợp liên tục về mặt vật lý: $C_3 = 0$ và $C_3 \rightarrow \infty$.

7. $Q_1 = \frac{CU^2}{4} \frac{R_1}{R_1 + R_2}; Q_2 = \frac{CU^2}{4} \frac{R_2}{R_1 + R_2}$.

8. $R_{\text{ш}} = 20 \text{ Ом}$.

9. Ở độ sâu ngâm nông, tốc độ biểu kiến ​​nhỏ hơn $n$ lần so với tốc độ thực ($n$ là chiết suất của nước).

10. Phóng to 9 lần.

Trường Kỹ thuật Cao cấp Moscow được đặt theo tên. N. E. Bauman

Matematika
Tùy chọn 1

1. $a_1 = 2, q = 4$ hoặc $a_1 = 512, q = \frac{1}{4}$.
2. $x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi l(k, l \in \mathbb{Z})$.
3. {1}.
4. ] — 2; — 1] $\cup [0; + \infty[$.
5. $\frac{4}{27} R^3$. Gợi ý. Biểu thị thể tích của lăng kính theo $x = |SN|$ (đối với các ký hiệu, xem Hình 8).

Hình 8.

Tùy chọn 2

1. 10 km/giờ, 30 km/giờ.
2. $x = \frac{\pi}{4} k (k \in \mathbb{Z})$.