Định luật hấp dẫn

12

Vâng. Smorodinsky

Định luật hấp dẫn

Trong vật lý hiện đại có những hằng số được gọi là cơ bản. Tốc độ ánh sáng trung bình của chúng là $c$, điện tích $e$, khối lượng electron $m$, hằng số hấp dẫn $\gamma$, hằng số Planck $h$. Các hằng số này được bao gồm trong các công thức mô tả các quá trình vật lý trong thế giới vi mô và trong không gian vũ trụ. Điều cơ bản của các hằng số này là giá trị của chúng không thay đổi theo thời gian hoặc vị trí trong không gian. Bất cứ khi nào chúng ta thay đổi các hằng số này, chúng ta sẽ luôn nhận được các giá trị giống nhau. Các nhà vật lý biết rằng những hằng số này không thay đổi đáng kể qua hàng tỷ năm tiến hóa của Vũ trụ.

Tuyên bố cơ bản đầu tiên - tuyên bố về lực hấp dẫn $\gamma$ - được Isaac Newton đưa vào vật lý. Nó xuất hiện cùng với việc khám phá ra định luật vạn vật hấp dẫn.

Có rất nhiều điều đáng ngạc nhiên và thú vị trong lịch sử phát hiện này. Một truyền thuyết hài hước kể về việc Newton đã phát hiện ra định luật này khi đang ngồi dưới gốc cây táo khi một đám mây dày đặc rơi xuống đầu ông. Thật thú vị khi Newton có thể chứng minh tính đúng đắn của định luật này bằng cách nghiên cứu chuyển động của Mặt trăng. Thật ngạc nhiên là luật này lại chính xác đến thế.

Nhưng điều đáng kinh ngạc nhất là sự dũng cảm mà Newton đã tuyên bố rằng định luật hấp dẫn là định luật phổ quát quyết định sự tương tác của bất kỳ vật thể nào trong Vũ trụ.

Từ sự bằng nhau về gia tốc của mọi vật rơi, ông sẽ kết luận rằng lực tác dụng lên một vật rơi tỉ lệ thuận với khối lượng của vật đó; Lực mà Mặt trăng gắn với Trái đất phải tỷ lệ thuận với cả khối lượng của Mặt trăng và khối lượng Trái đất, vì người ta cũng có thể giả định rằng Trái đất gắn liền với Mặt trăng.

Đây là điều chính trong khám phá của Newton. Nhưng Newton cũng hiểu rằng, mặc dù gia tốc đối với các vật thể khác nhau là như nhau, nhưng nó sẽ giảm khi khoảng cách giữa các vật thể liền kề tăng lên.

Trong bài tiểu luận “Các nguyên lý toán học của sinh lý học tự nhiên”, chúng tôi đã đến Anh vào năm 1686,

13

Newton đã tổng kết nhiều năm nghiên cứu về cơ học của mình *); ông trình bày cách ông tìm ra sự phụ thuộc của lực hấp dẫn giữa các vật thể vào khoảng cách giữa chúng.

Cách dễ nhất là rút ra định luật này cho chuyển động trong một vòng tròn (chúng ta sẽ thực hiện điều này bên dưới); nhưng các hành tinh chuyển động theo hình elip, và cần phải chứng minh rằng có thể thu được một quỹ đạo hình elip từ cùng một định luật.

Trong cuốn sách của mình, Newton đã đưa ra bốn quy tắc hướng dẫn con người về bản chất. Ông gọi những quy tắc này là “quy tắc triết học”. Chúng tôi sẽ trình bày chúng đầy đủ:

“Quy tắc I. Người ta không được chấp nhận trong tự nhiên những nguyên tắc ngoài những nguyên tắc đúng và sẵn có để giải thích các hiện tượng.

Quy tắc II. Posmotu, trong chừng mực có thể, nên chấp nhận những nguyên tắc tương tự như những biểu hiện của tự nhiên.

Quy tắcIII. Những đặc tính như vậy của cơ thể, không thể thành công cũng như không bị suy yếu và hóa ra là cố hữu trong tất cả các cơ thể mà trên đó có thể thử nghiệm, nên được coi là đặc tính của tất cả các cơ thể nói chung.

Quy tắc IV. Trong vật lý thực nghiệm, các mệnh đề bắt nguồn từ các hiện tượng đang diễn ra được hỗ trợ bởi sự hướng dẫn, bất chấp khả năng có những giả định trái ngược với chúng, phải được coi là đúng một cách chính xác hoặc gần đúng, cho đến khi những hiện tượng đó được phát hiện ra rằng chúng đã được cải tiến thêm hoặc đã bị loại trừ.”

Quy tắc III cho phép Newton rút ra kết luận sau: “…Qua cuộc sống hàng ngày và các quan sát thiên văn, mọi vật thể ở vùng lân cận Trái đất đều bị hút về phía Trái đất”.

*) Vật lý tự nhiên ở Anh được gọi là nhà vật lý vào thế kỷ 17. Cuốn sách của Nyyuton được dịch sang tiếng Nga vào năm 1915 bởi nhà khoa học người Nga thay thế A. N. Krylov. Bản dịch này được đặt trong Tập V của Tuyển tập Socinneys của Krylov. Tất cả các trích dẫn bên dưới trong nội dung bài viết đều là từ bản dịch này.

le, và hơn nữa, tỷ lệ thuận với số lượng lục địa của mỗi lục địa; Như vậy, Mặt trăng hút về Trái đất tỷ lệ với khối lượng của nó, và các vùng biển của chúng ta hút lẫn nhau về Mặt trăng, tất cả các hành tinh đều hút nhau, giống như lực hút của sao chổi về Mặt trời. Dựa trên quy tắc này, phải tính đến việc tất cả các vật thể đều bị hút về phía nhau. Newton đã phát biểu sự phụ thuộc của lực hấp dẫn vào khoảng cách như sau: “Nếu thời gian tỉ lệ bán kính một nửa bit thì lực hướng tâm tỉ lệ nghịch với bình phương bán kính…”. Nửa đầu của định lý này đơn giản là định luật thứ ba của Kepler:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_1^{3/2}}{R_2^{3/2}}$$

• các chu kỳ quay của các hành tinh liên quan đến một tỉ số bán bitic của bán kính, khi đó lực hướng tâm là lực làm cho các hành tinh rơi về phía Mặt trời, tức là lực hấp dẫn của các hành tinh do Mặt trời tạo ra.

Cuốn sách của Newton là cuốn sách đầu tiên trình bày cơ học như một môn khoa học chính xác; cuốn sách này nên được coi là cuốn sách đầu tiên về vật lý lý thuyết và năm cuốn sách được xuất bản - 1686 - nên được coi là năm ra đời của vật lý lý thuyết. Ảnh hưởng của cuốn sách này đối với khoa học là rất lớn. Sau đó, không thể chỉ giới hạn ở việc lý luận và mô tả bằng lời về các hiện tượng tự nhiên - cần phải tạo ra lý thuyết của họ. Và tính đúng đắn của một lý thuyết chỉ có thể được xác lập bằng thử nghiệm thực nghiệm: nếu các dự đoán của lý thuyết trùng khớp với dữ liệu thực nghiệm và quan sát thì lý thuyết đó đúng. Việc tạo ra phương pháp phân tích toán học của Newton và Leibniz đã cung cấp phương tiện để thực hiện chương trình này.

Người Hy Lạp cổ đại đã tạo ra chuyển động lý thuyết đầu tiên của các hành tinh. Lý thuyết này đã được Ptolemy trình bày trong chuyên luận “Almagest” của ông. Nhưng nó hoàn toàn không đề cập đến câu hỏi tại sao các hành tinh lại chuyển động. Một câu hỏi như vậy không bao giờ nảy sinh. Theo lời dạy của Aristotle, người Hy Lạp

14

Claudius Ptolemy (thế kỷ 11 sau Công nguyên)

Họ tin rằng các hành tinh có xu hướng chuyển động theo vòng tròn, giống như những vật nặng có xu hướng rơi xuống và những vật nhẹ, như khói, bay lên. Ngay cả trong thời Trung Cổ, việc thảo luận về các nguyên lý chuyển động của hành tinh có nghĩa là trộn lẫn thiên văn học với vật lý học, điều này theo quan điểm của thời đó là không được phép; quy luật của trời và đất thuộc về những lĩnh vực khác nhau và người ta không nên tìm kiếm điểm chung ở chúng.

Tuy nhiên, Copernicus vào năm 1543 đã nói rằng lực hấp dẫn là một đặc tính chung của các vật thể, “…xu hướng mà nhờ đó chúng đóng lại thành hình quả bóng, tạo thành một tổng thể duy nhất. Và cần phải giả định rằng mong muốn này cũng vốn có ở Mặt trời, Lunts và các hành tinh khác…”

Kepler (và trước Kepler cũng như Hilbert) đã so sánh lực hấp dẫn với tác dụng từ. Đồng thời, Kepler là người đầu tiên tuyên bố bài toán chuyển động của các hành tinh là một vấn đề vật lý, và là người đầu tiên đặt ra rõ ràng câu hỏi tại sao các hành tinh lại chuyển động, trong khi tất cả các nhà thiên văn học khác chỉ đưa ra các mô hình hình học mô tả cách các hành tinh chuyển động. Các nhà vật lý thời Galileo và Keplar đã giải được bài toán vật lý bằng cách sắp xếp các tỷ lệ. Vì vậy, người ta nói về sự rơi của các vật thể trên Trái đất nếu các khoảng thời gian được sắp xếp dưới dạng một phép tính số học.
hồi quy, thì các đoạn đường mà vật đi qua trong các khoảng thời gian liên tiếp sẽ liên hệ với nhau dưới dạng bình phương của các số liên tiếp. Galileo biết rằng mọi vật thể trên Trái đất đều rơi với cùng một gia tốc; anh ấy có thể giải thích rõ ràng tại sao các thi thể bị bỏ rơi trên Trái đất lại bay theo đường parabol. Mô tả đường bay của một viên đạn, ông nói rằng chuyển động này bao gồm sự rơi có gia tốc đều và chuyển động thẳng đều theo quán tính, và không đặt câu hỏi tại sao viên đạn rơi với gia tốc đều. Rất khó để kết luận rằng gia tốc phụ thuộc vào độ cao. Galileo tin rằng ngay cả Mặt trăng (nếu chuyển động về phía trước của nó dừng lại) cũng sẽ rơi xuống Trái đất với cùng gia tốc như một hòn đá rơi trên Trái đất.

Đúng vậy, Galileo tin rằng Mặt trăng cũng phải tuân theo định luật “trái đất” về sự độc lập của gia tốc rơi của nó khỏi khối lượng. Vậy là anh ấy đã hiểu đúng “một nửa” bài toán! Nhưng Galileo không thể chấp nhận ý kiến ​​cho rằng Trái đất đang đỡ một hòn đá. Việc một hòn đá (Mặt Trăng) rơi xuống Trái Đất chỉ đơn giản là biểu hiện mong muốn của mọi vật thể hội tụ về gần một trung tâm, tạo thành một “đống” không hình cầu. Vào thời điểm đó, người ta coi rõ ràng là một cơ thể chỉ có thể tác động lên cơ thể khác bằng cách tiếp xúc với nó. Hành động ở khoảng cách xa dường như đơn giản là không thể tưởng tượng được. Vì vậy, Galileo đã trả lời Keplar rằng sự lên xuống của thủy triều trên Trái đất có liên quan đến lực hút của nước biển bởi Mặt trăng. Đến thời Newton, tình hình đã bắt đầu thay đổi.

Không phải ai cũng mù quáng đi theo Galileo. Vì vậy, Robert Hooke, dựa trên sự tương tự giữa trọng lực với lực hút từ, vào năm 1666 đã cố gắng xác định bằng thực nghiệm trọng lượng của một vật thay đổi như thế nào theo chiều cao. Ông đã tiến hành thí nghiệm với nam châm có độ dài khác nhau tại Tu viện Westminster ở London. Rõ ràng là anh ta không thể khám phá được điều gì quan trọng. Thể hiện rõ hơn giả định rằng lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, ông không thể đưa suy nghĩ của mình vào dạng nghiêm ngặt của một phương trình.

15

Nikolai Konernik (1473—1543)

Hooke vẫn chưa biết cách viết phương trình hoặc giải chúng nên không thể xác minh tính đúng đắn của đề xuất này. Ngoài ra, một thợ cơ khí nổi tiếng khác lúc bấy giờ là người Anh Wren cũng không thể làm được gì. Ren cũng nói về luật bình phương nghịch đảo, nhưng với anh ấy mọi thứ chỉ giới hạn ở lời nói.

Chỉ trong tay Newton, mọi thứ mới đâu vào đấy. Ý tưởng đầu tiên và chính yếu đến với ông vào năm 1665, khi ông đang chạy trốn khỏi bệnh dịch trong ngôi nhà của gia đình mình. Như anh ấy đã nói, toàn bộ sự việc bắt đầu từ một quả táo rơi từ trên cây xuống. Nhà khoa học 23 tuổi bất ngờ khi nghĩ rằng nguyên nhân khiến quả táo rơi xuống Trái đất hẳn phải liên quan đến nguyên nhân khiến Mặt trăng đi chệch khỏi đường đi thẳng của nó. Bây giờ điều này có vẻ hiển nhiên, nhưng vào thời Newton, ý tưởng về việc các thiên thể phụ thuộc vào một định luật đơn giản của Trái đất đã táo bạo một cách bất thường. Nhưng việc bản thân tin vào một giả thuyết táo bạo là một chuyện và thuyết phục người khác về tính xác thực của nó là một chuyện khác. Để làm được điều này, ít nhất chúng ta phải tìm ra cách kiểm tra nó, tìm ra cách, như chúng ta nói bây giờ, để so sánh lý thuyết với kinh nghiệm.

Tốt nhất nên bắt đầu bằng việc nghiên cứu chuyển động của Mặt trăng, sử dụng các kết quả quan sát hiện có. Điều này đòi hỏi nỗ lực và thời gian. Ngoài ra, Newton vẫn còn bận rộn với việc nghiên cứu quang học; và nói chung, các nhà khoa học thời đó thường không vội công bố. Đây có lẽ là lý do tại sao chỉ 20 năm sau, vào tháng 4 năm 1686, Newton đã trình bày tập đầu tiên của “Các nguyên lý” cho Hiệp hội Hoàng gia (Viện Hàn lâm Khoa học Anh), và toàn bộ tác phẩm đã được xuất bản vào giữa năm 1687. Chỉ sau đó lý thuyết này mới được trình bày cho các nhà vật lý khác.

Hãy viết định luật vạn vật hấp dẫn cho Mặt trời và hành tinh (ký hiệu khối lượng của chúng là $M$ và $m$). Sức mạnh của sự hấp dẫn

$$F = \gamma \frac{Mm}{r^2}.$$

Gia tốc do lực này truyền tới hành tinh là

$$a = \gamma \frac{M}{r^2}.$$

Làm thế nào Newton có được những công thức này?

Trong sự hiểu biết của mình về định luật hấp dẫn, Newton đã bắt đầu từ định luật thứ ba

16

Galileo Galilei (1564–1642)

Kepler: bình phương thời gian hình thành trung bình của các hành tinh có liên quan đến lập phương khoảng cách trung bình của chúng tới Mặt trời. (Newton gọi định luật này là quan hệ nửa lập phương.) Ngay cả khi Newton so sánh sự rơi của một quả táo và Luận Nghĩa, ông đã biết rằng nếu một vật chuyển động theo đường tròn thì sẽ có một lực tác dụng lên vật đó, kéo nó về phía tâm vòng tròn; ông cũng biết rằng gia tốc hướng tâm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ và tỉ lệ nghịch với khoảng cách.

Đúng là vinh dự khám phá ra các định luật chuyển động tròn là do Huygens, nhưng Huygens chỉ công bố khám phá của mình vào năm 1673 (mặc dù ông đã biết về nó từ năm 1659). Do đó, Newton đã phải tự mình tìm ra giải pháp.

Newton đã lý luận như thế này. Định luật thứ ba của Kepler phát biểu rằng đối với các hành tinh trong cùng một hệ

$$\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} = \dots = \text{const.}$$

Hãy để các hành tinh di chuyển theo một vòng tròn. Hãy giới thiệu vận tốc góc quay của hành tinh trên quỹ đạo $\omega = 2\pi/T$. Khi đó định luật thứ ba của Kepler sẽ có dạng:

$$\omega_1^2 R_1^3 = \omega_2^2 R_2^3 = \dots = \text{const.}$$

Bây giờ chúng ta giả sử rằng lực có tác dụng ngược

$$F = \gamma \frac{M_\odot m}{R^2}.$$

17

Tuy nhiên, trong cách dẫn xuất này, bài toán quá đơn giản. Trên thực tế, nó phức tạp hơn nhiều.

Bằng cách đưa một khoảng cách duy nhất $R$ vào công thức, chúng tôi đã lý luận như thể Mặt trời là một điểm vật chất không có thứ nguyên. Nhưng Newton hiểu rằng để kiểm tra định luật hấp dẫn, chẳng hạn như bằng chuyển động của Mặt trăng, người ta phải có khả năng giải bài toán cho một vật thể có kích thước hữu hạn và bằng cách nào đó tổng hợp các thể vùi từ các phần khác nhau của Trái đất và Mặt trăng. Vấn đề rất phức tạp và phải mất một thời gian dài mới giải quyết được lời giải. Đây có lẽ là lý do chính khiến Newton mất nhiều thời gian để công bố khám phá của mình.

Newton đã trình bày kết quả lời giải của phức bài toán này dưới dạng định lý. Đối với các vật thể có mật độ đồng nhất, công thức của định luật hấp dẫn trông như thể toàn bộ khối lượng của vật thể tập trung ở tâm của nó. Newton đã chứng minh rằng một lớp hình cầu có mật độ đồng đều hút các vật thể khác và theo định luật bình đẳng tác dụng và phản lực, bản thân nó hút các vật thể khác như thể toàn bộ khối lượng của nó tập trung ở tâm *). Nếu bạn tưởng tượng một quả bóng như một tổ hợp các từ hình cầu, bạn có thể xem cách tính trường hấp dẫn của một vật thể có phân bố khối lượng đối xứng hình cầu. Những định lý này của Newton đã quyết định vấn đề. Bây giờ trong biểu thức lực tác dụng giữa Mặt trăng

*) Chúng ta đang nói về các vật thể nằm trong các lớp. Newton đã chứng minh rằng nội lực hấp dẫn bằng không.

Trong Principia, Newton đặt ra nghịch đảo lời giải bài toán: ông tìm ra định luật tương tác phải như thế nào để quỹ đạo trở thành một hình elip, và chỉ ra rằng đây phải là định luật “bình phương nghịch đảo”. Hơn nữa, Newton còn chứng minh rằng nếu định luật về các lực tác dụng giữa hành tinh và Mặt trời thậm chí hơi lệch so với định luật nghịch đảo bình phương, thì những điểm có khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất của hành tinh với Mặt trời sẽ không bất động trong không gian. Và từ những gì đã quan sát được, những điểm này (chúng được gọi là đỉnh) gần như bất động. Chứng minh kiểu Newton này là một trong những chứng minh xuất sắc nhất trong thiên văn học.

Chúng ta hãy chú ý một lần nữa đến điều đã nói: có thể lập luận rằng định luật bình phương nghịch đảo của các lực

18

sự hấp dẫn xuất phát từ thực tế đơn thuần là sự bất động của các apses; vì vậy việc tính toán lực hấp dẫn sử dụng định luật Kepler là không cần thiết; trên thực tế, định luật thứ ba là hệ quả của định luật thứ nhất. Điều này tất nhiên Kepler không thể biết được *).

Trong nhiều năm, lý thuyết của Newton là nền tảng của cơ học thiên thể, và mặc dù nhiều người đang cố gắng khám phá bất kỳ sửa đổi nào đối với định luật vạn vật hấp dẫn, nhưng chỉ Einstein mới có thể tìm ra chúng. Bây giờ chúng ta biết khi nào định luật vạn vật hấp dẫn trở nên không chính xác và chúng ta có thể tính toán những điều chỉnh cho nó. Định luật hấp dẫn vẫn đúng miễn là khoảng cách giữa các vật lớn hơn nhiều so với cái gọi là bán kính hấp dẫn của vật kéo. Bán kính hấp dẫn của một vật có khối lượng $M$ là đại lượng

$$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2},$$

trong đó $\gamma M = C$ là “hằng số Kepler” mà chúng ta đã biết và $c$ là tốc độ ánh sáng. Đối với Mặt trời, bán kính hấp dẫn là 3 km và đối với Trái đất - 7 mm. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng định luật vạn vật hấp dẫn trên bề mặt Trái đất có thể có sai số tương đối xấp xỉ bằng $\frac{7 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{6,4 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx 10^{-9}$ (bán kính Trái đất $\approx 6400 \text{ км}$) và trên bề mặt Mặt trời $-\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{7 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx 0,4 \cdot 10^{-5}$ (bán kính Mặt trời $\approx 700 \text{ 000 \text{ км}}$).

Ở khoảng cách bằng khoảng cách từ Mặt trời đến Sao Thủy (khoảng 50 triệu km), chúng ta có thể dự đoán sẽ có sai số trong định luật vạn vật hấp dẫn cỡ $\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{5 \cdot 10^{10} \text{ м}} = 0,6 \cdot 10^{-7}$. Mặc dù sai số rất nhỏ nhưng nó dẫn đến hiệu quả quan sát được.

Điều này là do đặc tính của các apses được Newton chỉ ra là “phản ứng” với chuyển động của chúng trước sự vi phạm định luật bình phương nghịch đảo. Do sự điều chỉnh nhỏ, quỹ đạo hình elip của Sao Thủy quay chậm trong không gian. Chuyển động này (tích hợp với chuyển động quay của Sao Thủy trong quỹ đạo) được đặt chồng lên chuyển động gắn liền với khả năng tác động của Sao Mộc, được giải thích bằng lý thuyết Newton. Hơn 100 năm, một hỗn hợp bổ sung $43^{\prime\prime}$ nóng lên, lời giải thích về điều này chỉ được đưa ra bởi thuyết tương đối rộng.

Những hiệu chỉnh của thuyết tương đối tổng quát không phải lúc nào cũng nhỏ. Trong chiều sâu của không gian, có những lĩnh vực mà tính hiệu quả của thuyết tương đối rộng hóa ra là cơ bản. Đây là phần bên trong của các ngôi sao nặng, lõi của các thiên hà. Khi mô tả Vũ trụ như một hệ vật lý, “công cụ” chính là thuyết tương đối tổng quát. Nhưng Newton đã mở đường cho những nghiên cứu như vậy. Ông là người đầu tiên tạo ra các phương pháp vật lý lý thuyết và là người đầu tiên áp dụng các phương pháp này vào nghiên cứu Vũ trụ.

*) Nếu lực hấp dẫn tỷ lệ thuận với khoảng cách thì hành tinh sẽ có quỹ đạo hình elip kín, quỹ đạo này sẽ nhỏ nếu Mặt trời không nằm ở tiêu điểm của hình elip mà ở tâm của nó.