[Lời bạt cho bài viết của N. N. Nosov “Vitya Maleev quyết định bài toán”]

66

mình già gấp đôi con gái. Bạn nghĩ nên làm gì?
“Đánh vào cổ anh ta,” anh ta nói, “để anh ta không bóp cổ các cô gái!”

• Đó không phải điều tôi muốn hỏi! Làm sao họ có thể chia đôi những gì anh có được?
• Hãy để họ chia sẻ như họ muốn. Bạn đang làm phiền tôi vì điều gì? Hãy để họ chia sẻ trách nhiệm.
• Đúng, không thể bằng nhau được. Đây là bài toán như thế này.
• Còn gì nữa bài toán?
• Vâng, bài toán theo lập luận.
• Ờ! - Shishkin nói. “Con chuột lang của tôi đã chết, tôi mới mua nó hôm kia, thế mà nó lại can thiệp vào rắc rối!”

hậu quả
Kể từ khi Nikolai Nosov viết bài thơ tuyệt vời “Vitya Maleev ở trường và ở nhà”, việc dạy toán ở trường đã thay đổi rất nhiều. Bây giờ môn học được gọi là toán học chứ không phải tranh luận và nội dung của nó cũng đã thay đổi. Học sinh lớp ba, lớp bốn hiện tại sẽ không còn đau đầu vì vấn đề hạt dẻ nữa. Anh ta sẽ biểu thị số quả hạch mà cô gái có bằng “x”, và khi đó chàng trai sẽ có số quả hạch “2x”. Vì vậy, tổng cộng có những quả hạch “3x” và người ta biết rằng có 120 quả trong số đó. Điều này có nghĩa là 3x = 120, do đó x = 40, 2x = 80. Bài toán lời giải.

Đối với bài toán về “cưa và rìu”, “x” toàn năng cũng có thể đến giải cứu ở đây. Chúng ta hãy nhớ lại dạng cuối cùng bài toán sau khi đơn giản hóa:
“12 chiếc rìu và 3 chiếc cưa có giá 84 rúp, 12 chiếc rìu và 5 chiếc cưa có giá 100 rúp.” Chúng ta hãy biểu thị giá của chiếc cưa bằng chữ “x”, sau đó từ điều kiện đầu tiên, 12 trục có giá 84 - 3x rúp và một trục (84 - 3x): 12 rúp. Bây giờ chúng ta viết điều kiện thứ hai:
$$12 \cdot (84 - 3x) : 12 + 5x = 100$$
hoặc
$$84 - 3x + 5x = 100,$$
từ đó x = 8 (rúp). Một lần nữa, phương pháp tiêu chuẩn lại giải cứu SEL, dẫn đến mục tiêu mà không cần suy nghĩ nhiều.

Tuy nhiên, không phải tất cả các bạn đều nghĩ rằng lời giải Thành phố Vanya Pakhomov đẹp hơn. Cô ấy quyến rũ chúng ta bằng sự đơn giản và tao nhã của lối suy luận logic, dẫn đến lời giải bài toán. Cố gắng giải bài toán không chỉ theo cách thông thường (sử dụng phương trình) mà còn đơn giản bằng lý luận logic. Hãy viết cho chúng tôi rằng bài toán trong sách giáo khoa lớp 3-5 dễ giải logic hơn là sử dụng phương trình.

A. Savin

Về bài viết “Hình học của đường tròn” của V. Vavilov (xem trang 40).

68

sẽ lấp đầy nó. Trong trường hợp này, hơi sinh ra không được lấy ra khỏi bình.

Trong một thùng chứa kín, nhiệt độ được duy trì không đổi, chất lỏng có thể được lưu trữ bao lâu tùy thích mà không thay đổi thể tích. Điều này có nghĩa là sự bốc hơi đã dừng lại? Tất nhiên là không. Như trước đây, các phân tử rời khỏi bề mặt chất lỏng “nhanh”, nhưng đồng thời xảy ra sự ngưng tụ hơi hình thành phía trên chất lỏng. Và khi số lượng phân tử rời khỏi chất lỏng trong một thời gian nhất định bằng số lượng phân tử quay trở lại trong cùng thời gian, thì khối lượng của cả chất lỏng và hơi sẽ không thay đổi. Sự cân bằng xảy ra giữa chất lỏng và hơi. Hơi ở trạng thái cân bằng với chất lỏng của nó được gọi là hơi bão hòa.

Chất lỏng ở trạng thái cân bằng và hơi va chạm với nó liên tục trao đổi các phân tử của chúng. Số lượng phân tử trao đổi trong một thời gian nhất định là bao nhiêu? Có bao nhiêu phân tử rời khỏi chất lỏng và quay trở lại trong một thời gian nhất định?

Trung bình, để cùng một số lượng phân tử $z_0$ rơi trên một đơn vị diện tích bề mặt trong một đơn vị thời gian và $z$ phân tử đi vào đó. Cân bằng xảy ra giữa chất lỏng và hơi khi $z_0 = z$.

Thật khó để tính giá trị của $z_0$, nếu chỉ vì chúng ta không biết chính xác giá trị của lực hấp dẫn giữa các phân tử hơi và chất lỏng. Nhưng việc tính giá trị của $z$ khá đơn giản. Thật vậy, mọi phân tử hơi chạm tới bề mặt chất lỏng sẽ thâm nhập vào bên trong chất lỏng; do đó, $z$ bằng số lượng phân tử rơi trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích bề mặt của chất lỏng. Hãy tìm số này.

Chúng ta hãy hướng trục $X$ vuông góc với bề mặt tự do của chất lỏng trong bình (Hình 1). Chúng ta sẽ giả sử rằng hình chiếu vận tốc của tất cả các phân tử hơi lên trục $X$ là giống hệt nhau về giá trị tuyệt đối. Khi đó một nửa số phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục $X$

Hình 1.

là dương và bằng $|v_x|$, một nửa là âm và bằng $|v_y|$.

Trong một đơn vị thời gian, những phân tử hơi nằm cách nó một khoảng $l \leqslant |v_x|$ và có vận tốc chiếu lên trục $X$ bằng $|v_y|$ sẽ rơi xuống một đơn vị diện tích bề mặt. Nói cách khác, trên một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích bề mặt, diện tích của các phân tử hơi nằm trong thể tích $V_1 = |v_x|$ áp dụng lên bề mặt. Nếu thể tích mà hơi nước chiếm giữ trong bình là $V$ và có $N$ phân tử hơi trong thể tích này, thì về thể tích $V_1$ số lượng phân tử hơi là $N_1 = \frac{N}{V} V_1 = \frac{N |v_x|}{V}$.

Do đó, số lượng phân tử hơi rơi trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích bề mặt của chất lỏng bằng

$$z = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x|.$$

Chúng tôi giả định rằng các hình chiếu của vận tốc phân tử lên trục $X$ là giống hệt nhau về giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên, điều này không phải như vậy và sẽ chính xác hơn nếu sử dụng giá trị không phải $|v_x|$ mà là giá trị trung bình của giá trị này. Đó là lý do tại sao

$$z = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |\bar{v}_x|.$$

Nếu số lượng $z_0$ phân tử hiển thị trên một đơn vị diện tích bề mặt trong một đơn vị thời gian bằng giá trị này $z$, thì trạng thái cân bằng được thiết lập giữa chất lỏng và hơi.

Vì vậy, số lượng phân tử chuyển từ hơi sang lỏng phụ thuộc

69

không chỉ về nhiệt độ (từ $|\bar{v}_x|$), mà còn về mật độ hơi ($\frac{N}{V}$). Do đó, hơi phía trên chất lỏng trở nên bão hòa khi có đủ phân tử $N$ tích tụ trong thể tích $V$ mà nó chiếm giữ để thỏa mãn các điều kiện

$$\frac{1}{2} \frac{N}{V} |\bar{v}_x| = z_0. \tag{1}$$

Hãy nhớ lại rằng tỷ lệ $\frac{N}{V}$ xác định áp suất $p$ của hơi nước ở nhiệt độ nhất định:

$$p = \frac{N}{V} kT. \tag{2}$$

Nếu hơi nước bão hòa thì theo (1), $\frac{N}{V} = \frac{2z_0}{|\bar{v}_x|}$, và áp suất hơi nước bằng

$$p_H = \frac{2z_0 k T}{|\bar{v}_x|}. \tag{3}$$

Do đó, chúng tôi đi đến kết luận rằng áp suất thực tế của hơi bão hòa không phụ thuộc vào thể tích mà nó chiếm và ở nhiệt độ nhất định được xác định đầy đủ như một đặc tính giá trị của một chất lỏng nhất định.

Có vẻ như sự độc lập của áp suất hơi bão hòa với thể tích mâu thuẫn với phương trình trạng thái khí (2), từ đó suy ra rằng ở nhiệt độ không đổi $T$, áp suất khí tỷ lệ nghịch với thể tích $V$ mà nó chiếm giữ. Có lẽ phương trình trạng thái khí không áp dụng được cho hơi bão hòa?

Trong thực tế, không có mâu thuẫn nào và phương trình (2) không áp dụng được.

Từ phương trình (2), suy ra rằng áp suất $p$ của một chất khí tỷ lệ nghịch với thể tích của nó, với điều kiện $N$ không đổi, nghĩa là khi khối lượng của chất khí không thay đổi. Nhưng đối với hơi nước bão hòa thì điều kiện này không được đáp ứng. Khi thể tích hơi bão hòa thay đổi thì khối lượng của nó cũng thay đổi. Thật vậy, nếu bạn thay đổi hơi nước bão hòa theo cách làm cho thể tích của nó giảm từ giá trị $V$ xuống giá trị nào đó $V_1$, thì tỷ lệ $N/V_1$ sẽ giảm ngay lập tức. Khi đó, như có thể thấy từ công thức (1), số lượng $z$ phân tử chuyển từ hơi sang lỏng sẽ giảm và sẽ vượt quá số $z_0$

Hình 2.

các phân tử “bốc hơi”. Kết quả là số lượng $N$ phân tử hơi bắt đầu giảm. Khi nó giảm đến giá trị $N_1$ tại đó

$$\frac{N_1}{V_1} = \frac{N}{V},$$

sự cân bằng sẽ được khôi phục. Nhưng sau đó, theo phương trình (2), áp suất $p$ của hơi nước cũng sẽ được phục hồi. Đây là cách nó xảy ra bằng thực nghiệm.

Khi thể tích hơi bão hòa giảm, một phần của nó ngưng tụ và khối lượng của hơi giảm đi nhiều lần khi thể tích của nó giảm. Do đó, áp suất hơi bão hòa không phụ thuộc vào thể tích. (Không khó để chứng minh rằng khi thể tích chiếm giữ của hơi bão hòa tăng từ giá trị $V$ lên giá trị $V_1$ thì mọi chuyện sẽ diễn ra theo chiều ngược lại: số lượng phân tử “ngưng tụ” lớn hơn số lượng phân tử bay hơi, do đó số lượng phân tử trong hơi sẽ giảm đến giá trị $N_1$ mà tại đó

$$\frac{N_1}{V_1} = \frac{N}{V},$$

và áp suất hơi nước vẫn giữ nguyên.)

Vì vậy, chúng tôi đã phát hiện ra rằng áp suất hơi bão hòa ở một nhiệt độ nhất định có đặc tính giá trị được xác định đầy đủ của một chất lỏng nhất định. Chúng ta giữ “ở một nhiệt độ nhất định” vì kinh nghiệm cho thấy áp suất của hơi bão hòa trên chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ.

70

Không khó để có được sự phụ thuộc này từ kinh nghiệm. Để làm điều này, trước tiên bạn cần đặt một bình kín chứa chất lỏng vào lò sưởi bằng đồng hồ đo áp suất và thay đổi áp suất hơi ở các nhiệt độ khác nhau. Hình 2 cho thấy một biểu đồ điển hình của áp suất hơi bão hòa so với nhiệt độ của nước. Sự phụ thuộc này hoàn toàn không giống với sự phụ thuộc tuyến tính quen thuộc của khí hoặc áp suất hơi không bão hòa vào nhiệt độ, được biểu thị dưới dạng đường chấm trên cùng một biểu đồ. Ví dụ, từ biểu đồ, rõ ràng là khi nhiệt độ tăng từ 373 °C (100 °C) lên 473 °C (200 °C), áp suất hơi bão hòa của nước tăng 16 lần, từ một atm lên 16 atm. Áp suất của khí hoặc hơi không bão hòa chỉ tăng 27%, như sau từ phương trình trạng thái của khí.

Điều gì giải thích sự khác biệt mạnh mẽ như vậy?

Ta quay lại phương trình trạng thái của khí

$$p = \frac{N}{V} kT.$$

Từ phương trình này, rõ ràng là khi mật độ của các phân tử $N/V$ không thay đổi theo nhiệt độ thì áp suất hơi tỷ lệ với nhiệt độ $T$. Sự phụ thuộc “mạnh mẽ hơn” của áp suất hơi bão hòa $p$ vào nhiệt độ quan sát được trong thí nghiệm chỉ có thể được giải thích bởi thực tế là khi nhiệt độ tăng thì phép tính và tỷ lệ $\frac{N}{V}$, tức là tính mật độ hơi.

Tại sao nhiệt độ tăng lại làm tăng mật độ hơi bão hòa? Bởi vì khi nhiệt độ của chất lỏng tăng lên, tỷ lệ các phân tử của nó có động năng lớn hơn công bay hơi sẽ quay trở lại mạnh mẽ. Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ tăng, số lượng phân tử $z_0$ bay hơi khỏi chất lỏng tăng mạnh. Và điều này lại dẫn đến sự gia tăng mật độ của các phân tử hơi $\frac{N}{V}$ và áp suất của nó $p$.

Đúng, khi nhiệt độ tăng, tốc độ của các phân tử hơi cũng tăng, tức là giá trị $|\bar{v}_x|$ tăng, nhưng mức tăng này nhỏ so với mức tăng mật độ $\frac{N}{V}$.

Áp suất hơi bão hòa tăng khi nhiệt độ tăng chủ yếu là do lượng chất lỏng chuyển thành hơi tăng lên.

Rõ ràng là nếu chất lỏng trong bình kín bay hơi hoàn toàn thì hơi sẽ trở nên không bão hòa và khi tiếp tục đun nóng, áp suất của nó sẽ tăng lên. $p$ tăng tỉ lệ thuận với nhiệt độ $T$. Hơi bão hòa có thể chuyển thành hơi bão hòa. Để làm điều này, nó phải được làm mát. Khi nhiệt độ tăng, áp suất hơi sẽ giảm tỷ lệ thuận với nhiệt độ cho đến khi bắt đầu ngưng tụ - những giọt chất lỏng nhỏ ở dạng sương sẽ xuất hiện trên thành bình. Điều này có nghĩa là hơi nước trở nên bão hòa. Nhiệt độ tại đó nó trở nên bão hòa được gọi là điểm sương.

Bài tập

1. Tính áp suất của hơi nước bão hòa trong bình ở nhiệt độ 17 °C nếu điểm sương bằng 5 °C.
2. Sẽ mất bao lâu để 1 kcal nước trong bình bay hơi nếu không gian phía trên bề mặt của nó được hút chân không bằng máy bơm và nhiệt độ nước được duy trì không đổi ở 100 °C?

Diện tích bề mặt của nước là 0,01 $m^2$. Áp suất hơi bão hòa của nước ở 100°C là 1 bar. Giả sử rằng $\bar{v}_x = \sqrt{\frac{v^2}{3}}$.

72

Cách tiếp cận trên cũng có thể được áp dụng trong trường hợp phương trình đang xét được rút gọn về dạng (1) sau một loạt các phép biến đổi. Tất nhiên, trong trường hợp này, bạn cần phải cẩn thận để không làm mất gốc hoặc đưa vào lời giải không liên quan, điều này cần được chăm sóc đặc biệt do có một tham số trong phương trình.

Ví dụ 3: Giải phương trình
$$x^2 - \sqrt{a-x} = a.$$

Viết lại phương trình này dưới dạng $x^2 - a = \sqrt{a-x}$, ta kết luận ngay *) rằng ta phải giải phương trình
$$(x^2 - a)^2 = a - x$$
(2)
và đảo ngược các nghiệm thỏa mãn phương trình
$$x^2 - a \geq 0.$$ (3)

Phương trình (2) có thể được xem là phương trình tương đối bình phương $a$:
$$a^2 - a(2x^2 + 1) + (x^4 + x) = 0,$$
từ đâu $a = x^2 + x$ hoặc $a = x^2 - x + 1$.

phương trình
$$x^2 + x - a = 0$$
(4)
có gốc tại $a \in [-1/4; \infty]$:
$$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{1 + 4a}}{2},$$
$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4a}}{2},$$

với $x_1 = x_2$ tại $a = -1/4$. Vì đối với nghiệm $x_{1,2}$, theo phương trình (4), ta có
$$x^2 - a = -x,$$
thì việc chứng minh bất đẳng thức (3) là bằng chứng của việc chứng minh bất đẳng thức $-x \geq 0$, mà với $x_1$ có giá trị với mọi $a \in [-1/4; \infty]$, và với $x_2$ chỉ thỏa mãn với $a \in [-1/4; 0]$.

phương trình
$$x^2 - x + 1 - a = 0$$
(5)
có gốc tại $a \in [3/4; \infty]$:
$$x_3 = \frac{1 - \sqrt{4a - 3}}{2},$$
$$x_4 = \frac{1 + \sqrt{4a - 3}}{2},$$

*) Xem, ví dụ, G.V. Dorofeev, M.K. Potapov, N.Kh. Rozov, “Sách hướng dẫn toán học dành cho ứng viên đại học” (M., “Nauka”, 1976, trang 176–177).

với $x_3 = x_4$ tại $a = 3/4$. Vì đối với nghiệm $x_{3,4}$, theo phương trình (5), ta có
$$x^2 - a = x - 1,$$
thì việc chứng minh bất đẳng thức (3) là bằng chứng cho việc chứng minh bất đẳng thức $x - 1 \geq 0$, mà với $x_3$ là sai với mọi $a$, và với $x_4$ thì nó thỏa mãn với $a \in [1; \infty]$.

Để tóm tắt, chúng tôi viết đáp số:
tại $a \in ] -\infty; -1/4[$ không có rễ;
cho $a = -1/4$ một gốc: $x = -1/2$;
cho $a \in ] -1/4; 0]$ hai nghiệm: $x = x_1, x = x_2$;
cho $a \in ] 0; 1[$ một gốc: $x = x_1$;
tại $a \in ] 1, \infty[$ có hai nghiệm: $x = x_1, x = x_4$.

Tiếp theo bài toán điều tương tự được áp dụng thành công cho hệ phương trình lời giải.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} ax^2 + 2by = a, \\ by^2 + 2ax = b. \end{cases}$$

Rõ ràng là nếu $a = b = 0$ thì bất kỳ cặp số nào $(x, y)$ đều thỏa mãn hệ thống. Nếu $b = 0$ nhưng $a \neq 0$ hoặc nếu $a = 0$ nhưng $b \neq 0$ thì hệ thống không có lời giải. Cuối cùng, hãy để $a \neq 0$ và $b \neq 0$. Sau đó, biểu thị $y$ từ phương trình đầu tiên của hệ và thay nó vào phương trình thứ hai, chúng ta thu được phương trình bậc bốn tương ứng với $x$ với hai tham số $a$ và $b$, có thể được coi là một tương đối bậc hai $b$:
$$4b^2 - 2b \cdot 4ax - a^2(1 - x^2)^2 = 0.$$
Từ đây ta tìm được hai phương trình:
$$b = \frac{a(1 + x)^2}{2}, \quad b = -\frac{a(1 - x)^2}{2}.$$

Độc giả của chúng tôi A.M. Avoyan và V.M. Anumyan (Yerevan) đã gửi bài toán đầy kính trọng trong thư của họ. Hóa ra là cách tiếp cận đang được xem xét đôi khi cũng có thể được giải bằng các phương trình không có tham số.

Ví dụ 5: Giải phương trình
$$x + \sqrt{3 + \sqrt{x}} = 3.$$ (6)

Bình phương liên tiếp cả hai vế của phương trình dẫn đến phương trình lời giải thứ tư, rất khó giải. Vì vậy, chúng tôi sẽ tiến hành như sau.

73

Không khó để báo cáo rằng các nghiệm của phương trình (6) sẽ là những nghiệm đó và chỉ những nghiệm đó của phương trình

$$3 + \sqrt{x} = (3 - x)^2,$$

(7)

thỏa mãn bất đẳng thức $0 \leq x \leq 3$, tức là $x \in [0; 3]$. Kết hợp phương trình (7), một phương trình tổng quát hơn với tham số

$$a + \sqrt{x} = (a - x)^2,$$

(8)

trùng với phương trình (7) tại $a = 3$. Bằng cách viết phương trình (8) dưới dạng bậc hai $a$:

$$a^2 - a(2x + 1) + (x^2 - \sqrt{x}) = 0,$$

Ta dễ dàng có được hai phương trình:

$$x + \sqrt{x} + 1 - a = 0, \quad x - \sqrt{x} - a = 0,$$

hoặc, giả sử $a = 3$,

$$x + \sqrt{x} - 2 = 0, \quad x - \sqrt{x} - 3 = 0.$$

Sau khi giải các phương trình này và hiển thị các nghiệm thỏa mãn điều kiện $x \in [0; 3]$, ta tìm được nghiệm của phương trình (6): $x = 1$.

Bài tập

1. Phân tích nhân tử của đa thức như sau:

a) $(1 + x^2)y^2 + 2(x - y)(1 + xy) + 1$;
b) $(x^2 - 1)^2 + (y + 1)(4x - y - 1)$.
2. Giải phương trình:
a) $x^6 + (c^2 - b^2)x^2 - bc^2 = 0$;
b) $x^3 + 2\sqrt{3}x^2 + 3x + \sqrt{3} - 1 = 0$;
g) $x^2 + \sqrt{x} + 5 = 5$.
3. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = bx + cy - az, \\ y^2 + z^2 = ay + bz - cx, \\ z^2 + x^2 = cz + ax - by. \end{cases}$$

Độc giả của chúng tôi G.F. Piskarev (làng Proervo, vùng Yaroslavl) đã gửi cho người biên tập một bất đẳng thức để chứng minh rằng cần phải sử dụng sự tương ứng giữa tiếp tuyến và lập luận của nó đã học ở trường.

4. Chứng minh rằng với $0 < x < \pi/2$
   $$\mathrm{tg} x - \sin x > \frac{x^3}{2}.$$

Độc giả của chúng tôi B. Ya. Starabin (Severodonetsk, vùng Voroshilovgrad) đã dành lá thư của mình cho người biên tập để phân tích chi tiết về một hình học bài toán, do Trường Vật lý-Kỹ thuật Tương ứng tại MIPT (nhiệm vụ số 5 dành cho học sinh lớp chín) đề xuất.

Ví dụ 6. Các cạnh $AB$ và $CD$ của một tứ giác phẳng lồi $ABCD$ vuông góc với nhau và là đường kính của hai tiếp tuyến bằng nhau với nhau ở ngoài là đường tròn bán kính $r$. Tìm diện tích tứ giác $ABCD$ nếu biết rằng $|BC| : |AD| = 1 : 3$.

Có vẻ như không có gì đặc biệt về bài toán này, giống như mọi phần ba bài toán. Chúng ta hãy làm quen với giải pháp do các tác giả của nhiệm vụ ZFTSH đề xuất.

Sử dụng ký hiệu rất giống với hình vẽ (xem Hình 1) và biết rằng $(AO) \perp (OD)$, chúng ta có thể viết

$$S_{ABCD} = S_{AOD} - S_{BOC} = \frac{1}{2}(2r + x)(2r + y) - \frac{1}{2}xy = r(x + y) + 2r^2.$$

Chúng ta hãy viết định lý Pythagore cho tam giác vuông $BOC, O_1OO_2, AOD$:

$$x^2 + y^2 = z^2,$$

$$(r + x)^2 + (r + y)^2 = 4r^2,$$

$$(2r + x)^2 + (2r + y)^2 = t^2.$$

Sự tương ứng giữa (9) và (10) ngụ ý sự bình đẳng

$$r(x + y) = r^2 - \frac{1}{2}z^2.$$

Có tính đến điều kiện $z : t = 1 : 3$ và bằng-

74

thuộc tính (12) khỏi sự tương ứng (9) và (11) rất dễ loại trừ $z$ và $t$:

$$x + y = \frac{2}{5} r.$$

Pozny cuối cùng $S_{ABCD} = \frac{12}{5} r^2$.

Đáp số đã nhận được, không có lỗi trong tính toán. Nhưng một người nộp đơn tò mò muốn tìm $x$ và $y$ sẽ khá ngạc nhiên. Thật vậy, từ đẳng thức (9), (12) và (13) suy ra rằng

$$x^2 + y^2 = \frac{6}{5} r^2,$$

và phương trình này, có tính đến phương trình (13), cho các đại lượng $x$ và $y$ các giá trị $\frac{1 \pm \sqrt{14}}{5} r$, sao cho một trong các độ dài $x$ hoặc $y$ là khác nhau, nó đề cập đến một “vật thể không thể”.

Để kiểm chứng điều này, chúng ta hãy tìm khả năng xảy ra kết quả? Thực tế là hình ảnh hình học được mô tả trên đường không tương thích với dữ liệu số được chỉ định trong điều kiện. Các tác giả của bài toán đã không nhận thấy rằng nó đề cập đến một “vật thể không thể”.

Vì $O$ là giao điểm của các đường vuông góc lẫn nhau $AB$ và $CD$, nên nó nằm trên hình bán nguyệt có đoạn $O_1O_2$ là đường kính. Hãy nhập tham số $\alpha = \widehat{BO_1O_2}$. Sau đó $x = |OO_1| - |BO_1| = 2r \cos \alpha - r$, $y = 2r \sin \alpha - r$, $z^2 = x^2 + y^2 = 6 - 4 (\sin \alpha + \cos \alpha)$; tương tự như $t^2 = 6 + 4 (\sin \alpha + \cos \alpha)$, từ đó

$$u^2 = \frac{3 - 2(\sin \alpha + \cos \alpha)}{3 + 2(\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{3 - 2\sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})}{3 + 2\sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})},$$

và $\alpha \in [\pi/6; \pi/3]$, vì tứ giác $ABCD$ là lồi. Dễ dàng nhận thấy hàm $u(\alpha)$ nhận giá trị nhỏ nhất tại $\alpha = \pi/4$ và cao nhất tại $\alpha = \pi/3$ và $\alpha = \pi/6$, với $u(\pi/4) = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} u(\pi/6) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6\sqrt{3}}}$, tức là xấp xỉ $u \in [0, 171; 0, 217]$.

Như vậy, khi lập câu hình học ở điều kiện bài toán thì tỉ số $\frac{|BC|}{|AD|}$ không thể lấy giá trị 1/3.

Tất nhiên, người nộp đơn vào các trường đại học không bắt buộc (trừ khi có quy định khác) để phân tích các điều kiện tồn tại của các đề xuất xác định cấu hình hình học. Tuy nhiên, phải lưu ý rằng các dữ liệu khác nhau bài toán có thể liên quan chặt chẽ với nhau, phụ thuộc và khi đó không thể tùy tiện chọn những dữ liệu này nữa.

Lúc chia tay

Trong các bài toán sau, hãy vẽ “lời giải” từ một hình vẽ “tự nhiên”, sau đó chỉ ra rằng các cấu hình hình học được mô tả là không thể.

5. Các cạnh của hình bình hành là 1 cm và 0,5 cm và góc giữa hai đường chéo là 60°. Tìm diện tích của hình bình hành.

6. Các cạnh của hình tam giác là 12 cm và chiều cao được vẽ ở cạnh này là 10 cm. Tìm khoảng cách từ tâm của đường tròn nội tiếp trong tam giác đến đỉnh đối diện với cạnh đã cho, nếu bán kính của đường tròn nội tiếp là 4 cm (xem “Bộ sưu tập bài toán về toán dùng trong các kỳ thi cạnh tranh ở trường đại học” do M. I. Skanavi, M., “Higher School”, 1972, bài toán 10.260 biên tập).

7. Cho một đường tròn có tâm $O$. Đường kính $AB$ và dây cung $CD$ được vẽ qua một điểm bên trong đường tròn. Từ điểm $D$ vuông góc $DF$ được thả xuống dây $AC$ (điểm $F$ nằm giữa các điểm $A$ và $C$), và từ điểm $F$ vuông góc $FH$ được thả xuống đường kính $AB$. Điểm $M$ là trung điểm của dây $CD$. Được biết, $|AM| = 2|MO|$, $8|AH| = 5|AB|$. Tìm $AMO$.

Bài toán của học sinh lớp 8 $P$. Azizrana (làng Razin, Azerbaijan Liên Xô) không khó. Vì vậy, anh ấy không vội tạo ra một phương trình - đầu tiên anh ấy sẽ cố gắng tìm đáp số mà không cần tính toán. Nếu vẫn thất bại, hãy giải bài toán và suy nghĩ, sử dụng các khái niệm vật lý, tại sao đáp số thực tế lại rất thú vị. Đồng thời giải thích tại sao đáp số không phụ thuộc vào đại lượng nào trong hai đại lượng $v_1$ và $v_2$ lớn hơn.

8. Hai đại lượng đồng thời hạ cánh tại điểm $A$ và phải kết thúc tại điểm $B$. Nhà tạo mẫu tóc thứ nhất hoàn thành nửa thời gian di chuyển đầu tiên của mình về đích một cách đồng đều với tốc độ $v_1$, và nửa thời gian di chuyển sau của mình về đích một cách đồng đều

75

niche - đồng đều với tốc độ $v_2$. Giá trị thứ hai được đưa vào khóa học toán ở trường mang lại cho học sinh cơ hội thực hiện phân tích chi tiết về nhiều loại hàm, đặc biệt là giải khá nhanh và thống nhất bài toán “để tìm giá trị lớn nhất hoặc lớn nhất”, thậm chí là các hàm hình học. Tuy nhiên, một ví dụ như thế này bài toán đã được độc giả E. G. Gotman (vùng Arzamas, Gorky) gửi cho người biên tập.

Ví dụ 7. Cơ sở của tham số là hình thoi, độ dài cạnh của nó là $a$. Được biết, độ dài các độ cao giảm từ thông số trên xuống hai cạnh đối diện của đế đều bằng $h$. Âm lượng tối đa mà một tham số tối đa có thể có là bao nhiêu?

Đặt $NABCD$ là tham số đã cho, $[NL]$ và $[NM]$ chiều cao của các mặt $ABN$ và $CDN$, $[NO]$ chiều cao của tam giác đều $LNM$ (Hình 2). Sau đó $(AB)_\perp(NL)$ và $(AB)_\perp(NM)$, do đó $(AB)_\perp(LM)$ và $(AB)_\perp(NO)$. Do đó, $[LM]$ là chiều cao của viên kim cương $ABCD$ và $[NO]$ là chiều cao của các tham số.

Theo điều kiện $|AB| = a, |NL| = |MN| = h$. Chúng ta đặt $|LM| = 2|LO| = x$, sau đó $S_{ABCD} = ax, |NO| = \sqrt{h^2 - \frac{x^2}{4}}$ và âm lượng của tham số $V$ bằng

$$V(x) = \frac{1}{6} a \sqrt{(4h^2 - x^2)x^2}.$$

Do đó, bài toán đã được rút gọn thành việc tìm giá trị lớn nhất trên đoạn $[0; a]$ của hàm $V$ mà nó đạt được đồng thời với hàm

$$f(x) = -x^4 + 4h^2x^2.$$

Vì $f'(x) = -4x^3 + 8h^2x$, khi đó, cho đạo hàm bằng 0, ta thu được phương trình

$$x(x^2 - 2h^2) = 0$$

đối với các điểm tới hạn mà chúng ta chỉ có thể quan tâm đến $x = h\sqrt{2}$.

Điểm $h\sqrt{2}$ thuộc khoảng $[0; a]$ khi và chỉ khi $a \geq h\sqrt{2}$. Đầu tiên chúng ta sẽ giả sử rằng điều kiện này được thỏa mãn. So sánh giá trị của hàm $f(x)$ tại điểm tìm thấy và ở cuối khoảng $[0; a]$, ta kết luận rằng hàm $f(x)$ có giá trị lớn nhất tại $x = h\sqrt{2}$. Do đó, nếu $a \geq h\sqrt{2}$ thì

$$V_{\max} = \frac{1}{6} a^2 \sqrt{4h^2 - a^2}.$$

đáp số cuối cùng sẽ trông như thế này:

$$V_{\max} = \begin{cases} \frac{1}{3} ah^2, \text{ если } a \geq h\sqrt{2}; \\ \frac{1}{6} a^2 \sqrt{4h^2 - a^2}, \text{ если } a < h\sqrt{2}. \end{cases}$$

Lúc chia tay

9 (MSU, cơ chế, 1966). Cần làm một hình hộp có dạng hình song song thẳng có diện tích đáy bằng $1\text{ см}^2$. Tổng chiều dài của các cạnh của hình bình hành phải bằng 20 cm. Ở kích thước nào của hộp thì tổng bề mặt của nó sẽ có ý nghĩa nhất?

77

Cách giải bài toán này bằng phương pháp lượng giác dẫn đến các phép tính phức tạp và rườm rà.

Ví dụ 10. (MSU, Khoa Sinh học, 1973). ABCD có thể vẽ xung quanh một tứ giác và có thể vẽ một đường tròn ngoại tiếp vào đó. Các đường chéo của tứ giác này vuông góc với nhau, |AB| = |CD|, bán kính của hình tròn nội tiếp là 1. Diện tích của tứ giác là bao nhiêu?

Hãy |AB| = |CD| = x, |BC| = y; thì |AD| = 2x - y (tại sao?). Theo tính chất của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì x2 + x2 = y2 + (2x - y) , từ đó x = y. Bây giờ dễ dàng chứng minh ABCD là hình vuông, S_{ABCD} = 4.

Bài tập

11 (MSU, cơ chế, 1973). Cho hình thang ABCD, K, M lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết rằng [AM] ⊥ [DK], [CK] ⊥ [BM], CKD = 60°. Tìm diện tích hình thang nếu chiều cao của nó là 1.

12. Tìm tỉ số độ dài các cạnh của một tứ giác lồi có góc π/3, nếu tứ giác này ngoại tiếp và có các đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

13 (NSU). Hai dây vuông góc được lấy trong một vòng tròn. Chứng minh rằng bình phương đường kính của một hình tròn bằng tổng bình phương chiều dài của ba hình vuông mà các dây cung đã cho được chia cho điểm giao nhau của chúng.

Học sinh lớp 10 G. Panaimov (làng Kongaz, Liên Xô Moldavian) giới thiệu với độc giả tạp chí cách giải bài toán được phát minh sau đây.

14. Đường cao của tứ giác thẳng SABCD đi qua giao điểm của hai đường chéo vuông góc với đáy ABCD. Tìm thể tích của đường thẳng nếu diện tích ASC là 300 cm2 và |BD| = 10 cm.

Để kết luận, chúng ta hãy chuyển sang một bài toán nổi tiếng, xuất hiện trong kỳ thi tuyển sinh tại trường đại học.

Ví dụ 11. Cho một nút HAU, mở nút nhỏ hơn ra và điểm O nằm bên trong nút đó. Một đường thẳng l được vẽ qua điểm này, cắt các cạnh của góc tại các điểm B và C. Tìm diện tích lớn nhất của đường thẳng l để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải trong số bài toán này, dựa trên phép tính diện tích của tam giác ABC, được đưa ra, ví dụ, trong cuốn sách của V. B. Liidsky et al. 《Bài toán về toán tiểu học》（M., “Nauka”, 1967, tr. 67, 293). Trong lá thư gửi người biên tập, V.V. Vanin (Moscow) biểu thị hai lời giải bài toán hình học thuần túy, không sử dụng bất kỳ phép tính nào. Hãy để chúng tôi giới thiệu với độc giả tạp chí một trong những lời giải này.

Hãy để tôi là một số vị trí của cát tuyến. Phản ánh tam giác cắt ABC so với điểm O và thu được tam giác A’B’C’. Nếu cát tuyến l₀ sao cho đoạn B₀C₀ của nó được chia đôi cho điểm O (Hình 4), thì hợp các tam giác AB₀C₀ và A’B’₀C’₀ tạo thành hình bình hành AB₀A’C₀, có diện tích gấp đôi diện tích tam giác AB₁C₁ và A’B’₁C’₁ tạo thành một đa giác có diện tích cũng bằng gấp đôi diện tích của tam giác AB₁C₁, nhưng hình bình hành được đề cập nằm trong đa giác này (chứng minh!), và do đó diện tích của nó nhỏ hơn. Do đó diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi |A’B| || [AY], [A’C] || [AX].