Isaac Newton

4

I. Bashmova

Thế giới này bị bao phủ trong bóng tối sâu thẳm. Hãy để có ánh sáng! Và rồi Newton xuất hiện.
A. Bật*)

Newton là thiên tài vĩ đại nhất từng tồn tại và là người hạnh phúc nhất, hoặc chỉ một lần được trao cho con người, hệ thống thế giới đã mở.
J. L. Lagrange

Mỗi người trong số các bạn chắc chắn đã nghe nói về Newton. Thật khó để tìm thấy một nhà khoa học có ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của khoa học và văn hóa thế giới như vậy. Cơ học Newton là nền tảng của khoa học tự nhiên hiện đại. Dựa trên định luật vạn vật hấp dẫn do ông phát hiện ra, Newton đã tạo ra một hệ thống sáng tạo thế giới hợp lý và mạch lạc. Hầu hết toán học tự nhiên hiện đại đều dựa trên phép tính vi phân do Newot phát triển.

Bất chấp tầm quan trọng của công trình của Newton, việc nghiên cứu nghiêm túc về di sản của ông chỉ mới bắt đầu gần đây. Sự thật là sau cái chết của Newton, tất cả giấy tờ của ông đều thuộc về chồng của cháu gái ông, John Conduit, và sau đó là con gái của ông, người đã kết hôn với một trong những lãnh chúa.

*) Vào thế kỷ 20, câu chuyện ngụ ngôn của thế kỷ 18 này vẫn được tiếp tục:

Nhưng Satan không đợi lâu để trả thù - Einstein đến và mọi thứ trở lại như cũ.
(Bản dịch các biểu tượng obikhe của S. Ya. Marshak.)

Portmouth. Các giấy tờ của Newton được lưu giữ trong gia đình này cho đến năm 1936, khi tất cả các bộ sưu tập của Portmouth được bán trong một cuộc đấu giá công khai ở London. Ba triệu từ gốc của Newton được định giá 9.030 bảng Anh. Chỉ nhờ vào số lượng lớn của một số nhà khoa học và các hoạt động công cộng, một phần đáng kể của các bài báo đã được đưa đến các thư viện của Cambridge và London. Tuy nhiên, rất nhiều giấy tờ đã bị thất lạc ở nước ngoài. Một số biến mất không dấu vết. Niên đại của các bản thảo mà chính Newton đã thiết lập trước khi qua đời đã bị vi phạm một cách vô vọng.

Nghiên cứu có hệ thống về di sản của Newton chỉ bắt đầu sau Thế chiến thứ hai. Từ năm 1959, thư từ của Newton bắt đầu được xuất bản ở Anh (cho đến nay đã xuất bản 7 tập), các công trình về động lực học của ông đã được xuất bản, và cuối cùng, kể từ năm 1967, các bản thảo toán học của ông bắt đầu được xuất bản (7 tập đã được xuất bản). Tất cả những điều này giờ đây cho phép chúng ta đánh giá đầy đủ hơn sức mạnh và chiều sâu của thiên tài Newton. Nhà khoa học vĩ đại giờ đây xuất hiện trước chúng ta không chỉ với tư cách là người tạo ra phép tính vi phân và tích phân mà còn là một nhà đại số, nhà nghiên cứu chính trong lĩnh vực hình học đại số và lý thuyết số.

Isaac Newton sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 trong một gia đình tá điền nghèo ở làng Woolsthorpe gần

5

thành phố Grantzma. Cha của Isaac qua đời trước khi con trai ông được sinh ra. Cậu bé đầu tiên theo học tại một trường nông thôn, và sau đó là trường học ở Grantzma. Giám đốc nhà trường chú ý đến khả năng của chàng trai trẻ và thuyết phục mẹ anh cho con trai đi học đại học. Mùa hè năm 1661, Isaac Newton vào học tại St. Trinity College thuộc Đại học Cambridge với tư cách là một sinh viên nghèo, buộc phải phục vụ các cử nhân, thạc sĩ và sinh viên năm cuối. Năm 1665, ông tốt nghiệp đại học với bằng cử nhân, ba năm sau ông trở thành thạc sĩ, và một năm sau, theo gợi ý của thầy Isaac Barruu, ông tiếp quản khoa của mình. Tại trường đại học, Newton giảng dạy về vật lý và toán học. Newton không được chào đón - đây là truyền thống của trường Cao đẳng Trinity, có từ thời Trung cổ.

Cuộc sống của Newton êm đềm, đo lường và không hề giàu có. Tuy nhiên, thật khó để tìm thấy một cuộc sống bão hòa hơn với định hướng, đầy sự tìm kiếm và cảm hứng sáng tạo.

Trong bài viết này chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về những thành tựu toán học của Newton.

Như những ghi chép sơ bộ của Newton cho thấy, trong lĩnh vực toán học, ông đã tự học - ở trường đại học, ông chỉ dạy một môn toán tiểu học. Niềm yêu thích toán học của chàng trai trẻ được khơi dậy bởi một sự cản trở vô tình: vào mùa hè năm 1663, anh mua một cuốn sách về chiêm tinh học tại một hội chợ. Để hiểu nó, ông cần phải làm quen với phép đo lượng giác, do đó, cần có kiến ​​thức về hình học Euclidian. Vì vậy, Newton bắt đầu nghiên cứu Cơ sở của Euclid, từ đó ông chuyển sang các tác phẩm của Vieta và Descartes về đại số và hình học giải tích, sau đó làm quen với các tác phẩm của Valis về phép tính vi phân. Các cuốn sổ ghi chép cho thấy Newotn phải mất khoảng một năm để thành thạo toán học đương đại và bắt đầu nghiên cứu độc lập. Vào thời điểm này, ông đã viết ra công thức nổi tiếng cho khai triển chuỗi $(1+x)^r$, trong đó $r$ là bất kỳ số hữu tỉ nào (chúng ta sẽ thảo luận về nó bên dưới). Ngay từ năm 1664-1667, Newton đã bắt đầu nghiên cứu về hình học giải tích và phép tính vi phân.

Hình học giải tích và nghiên cứu các đường cong bậc tam giác

Các đường cong bậc hai (hình elip, hyperbol và parabol) được nghiên cứu bởi Apollo (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên). Vào thời Apollo không có đại số chữ cái, vì vậy Apollonius đã viết ra các phương trình đường cong hình học bằng cách sử dụng đẳng thức của một số diện tích nhất định.

Hình học giải tích, dựa trên đại số chữ cái, chỉ được tạo ra trong thời hiện đại bởi Pierre Fermat (1636) và René Descartes (1637), những người sau này đưa ra phép tính chữ cái ở dạng hiện đại. Khi giới thiệu hệ tọa độ, cả hai nhà toán học đều vẽ một trục tọa độ (ngang) với phần đầu của báo cáo được đặt, đối với trục thứ hai chỉ xác định hướng. Điều quan trọng hơn nhiều là thực tế là cả Descartes lẫn Fermat đều không rút ra được các tính chất của đường cong từ việc định nghĩa các phương trình của chúng. Họ hài lòng khi rút gọn phương trình về một trong những dạng chính tắc được tìm thấy ở Apollo, và sau đó chỉ cần sử dụng kết quả của ông. Vì vậy, các chi tiết cụ thể của phương pháp hình học giải tích vẫn chưa được tiết lộ.

Newton ngay lập tức bắt đầu vẽ lên bản vẽ về các trục tọa độ (ở một góc tùy ý với nhau). Cả bốn ô vuông đều quen thuộc như nhau đối với anh ta, trong khi các nghiên cứu trước đây đã vẽ đường cong nên nghiên cứu được thực hiện chủ yếu ở ô vuông thứ nhất và thứ tư. Newton đã trả lời về điểm trung tâm của phép biến đổi tọa độ và viết ra các công thức biến đổi và phép quay song song.

Cuối cùng, Newton bắt đầu nghiên cứu các đường cong tam giác, mà chỉ có những ví dụ riêng biệt được biết đến. Ông đã thực hiện nghiên cứu này với sự tỉ mỉ tương tự.

6

Quang cảnh bên trong trường Grantham (chụp ảnh đương đại)

mức độ đầy đủ mà các đường cong bậc hai đã được nghiên cứu. Newton đã khái quát hóa các khái niệm về đường kính, trục, đỉnh, tâm và tiếp tuyến của các đường cong bậc ba. Ông chia những đường cong này thành các loại, hóa ra là 72. Những kết quả này nhanh chóng được các nhà toán học Anh biết đến, nhưng chúng chỉ được xuất bản vào năm 1704 trong phần phụ lục của cuốn sách “Quang học”. Phụ lục này - “Liệt kê các đường cong bậc ba” - được viết rất kém, không có bằng chứng. Giờ đây, nhờ vào các bản thảo, chúng ta có thể tìm ra cách Newton đi đến kết quả của mình và đối với các nhà toán học, điều này thường quan trọng hơn bản thân kết quả.

“Liệt kê các đường cong” đánh dấu sự khởi đầu của một nhánh mới của toán học - hình học đại số. Công việc này chỉ được hiểu và đánh giá đầy đủ vào cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20.

Phương pháp thông lượng

Đồng thời, Newton bắt đầu tạo ra một phép tính mới.

Vào thế kỷ 17, liên quan đến những thành công của cơ học về các vật thể trên mặt đất và thiên thể (hãy nhớ lại rằng vào thời điểm đó, định luật về các vật thể rơi được phát hiện bởi Galileo và định luật chuyển động hành tinh của Kepler), các nhà khoa học bắt đầu nghiên cứu các công trình của Archimedes, cố gắng rút ra từ chúng các phương pháp chung để xác định tiếp tuyến, cực trị, vận tốc, trọng tâm, diện tích và thể tích.

Newoton là người đầu tiên hiểu rằng toàn bộ tập hợp bài toán này rơi vào hai lớp hình ảnh bài toán lẫn nhau, có thể được hình thành ở dạng tổng quát và đối với lời giải của chúng, một thuật toán duy nhất có thể được đưa ra. Để làm được điều này, Newton trước hết đưa ra khái niệm lưu loát (từ tiếng Latin fluere - đến dòng chảy) - một đại lượng thay đổi khi có sự thay đổi về thời gian hoặc một đại lượng khác (mà ông gọi là thời gian tổng quát). Vì vậy, fluta là tên đầu tiên của hàm. Newton chỉ định thông thạo các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: x, y, z. Ông gọi tốc độ thay đổi của thông thạo, tức là đạo hàm, thông lượng và được chỉ định lần lượt là x, y, z. (Trong vật lý, những ký hiệu này vẫn được giữ cho đến ngày nay.) Sau đó, Newton đã hình thành hai bài toán chính:

I. Sự tương ứng giữa các lưu loát được đưa ra: $f(x, y, z) = 0$. Tìm sự tương ứng giữa các thông lượng của chúng: $\Phi(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z) = 0$.

7

II. Sự tương ứng giữa các thông lượng được cho: $f(x, y, z, x, y, z) = 0$.
Tìm sự tương ứng giữa các thông lượng: $\Psi(x, y, z) = 0$.

Các trường hợp đặc biệt của bài toán đầu tiên là tìm tốc độ chuyển động dọc theo một đường đi được xác định là hàm của thời gian, tìm cực trị và tiếp tuyến. Newton đưa ra thuật toán lời giải đến bài toán cho trường hợp sự tương ứng giữa các thông lượng được cho bởi đa thức $F(x, y)$ hoặc $F(x, y, z)$.

Quy tắc Newton như sau: sắp xếp đa thức theo lũy thừa của từng ubud của lưu loát, ví dụ $x$; nhân mỗi số hạng với $x/x$ và với lũy thừa tương ứng $x$; làm tương tự với các lưu loát khác; lấy tổng của các số hạng nhận được và đánh đồng nó bằng 0.

Ví dụ, chúng ta hãy áp dụng quy tắc này cho đa thức $y - x^n$. Chúng tôi nhận được $y \cdot \frac{y}{y} - x^n \cdot n \cdot \frac{x}{x} = 0$ hoặc $y = nx^{n-1}x$.

Newton biện minh cho quy tắc của mình như sau: chúng ta tăng thời gian lên một “phần nhỏ không xác định” - thời điểm $o$, khi đó độ lưu loát sẽ tăng thêm $ox$ và $oy$; Hãy thay thế các giá trị thông thạo mới vào biểu thức ban đầu và giảm tất cả các số hạng xuống $o$. Anh ấy đặt ra quan điểm trọng tâm trong lời biện minh của mình như sau: “Không phải vì chúng ta giả định $o$ là một giá trị vô cùng nhỏ…, nên những số hạng được nhân với nó có thể được coi là không có gì so với những số hạng khác. Đó là lý do tại sao tôi bỏ qua chúng.”

Để xem xét một ví dụ chúng ta có

$$y + oy = (x + ox)^n,$$

$$y + oy = x^n + nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x.$$

Đáp số là đúng! Tuy nhiên, lời giải thích của nó rất thiếu thuyết phục.

Bản thân Newton cũng không hài lòng với cách giải thích được đưa ra và đang cố gắng đưa ra cơ sở vững chắc hơn cho tính toán của mình. Trong phần giới thiệu cuốn “Nguyên lý toán học của Fluosophy tự nhiên” (1687), Newton đã nêu ra lý thuyết giới hạn (ông gọi đó là “lý thuyết về quan hệ đầu tiên và cuối cùng”), nhưng ông không áp dụng nó để chứng minh và xây dựng một cách có hệ thống phép tính vi phân. Điều này được thực hiện khoảng 150 năm sau trong công trình của O. Cauchy (1789-1857) và một số nhà toán học khác của thế kỷ trước.

bài toán thứ hai ở dạng tổng quát là bài toán tích phân các phương trình vi phân, tức là các phương trình kết nối các hàm nhất định và các hàm tùy ý của chúng. Trong một trường hợp cụ thể - đối với phương trình $y = f(x)$ - bài toán này được rút gọn thành việc tìm hình tượng đầu tiên.

Newton chứng tỏ rằng bài toán “Xác định diện tích giới hạn bởi bất kỳ đường cong cho trước nào” có các tính chất của định nghĩa thông lượng, vì thông lượng của diện tích (tùy ý) $z = ADB$ bằng với tọa độ $y = BD$ (xem Hình 1; xem thêm đẳng thức (2) trong đoạn 100 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”).

Trong trường hợp tổng quát, với lời giải giây bài toán Newton đã sử dụng một bộ máy phân tích mới, cho phép ông mở rộng thuật toán của mình sang một lớp hàm rất rộng. Đây là một bước cơ bản. Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.

8

Dòng điện

Ban đầu, phương pháp thông lượng được áp dụng cho đa thức. Còn các chức năng khác thì sao? Ví dụ, làm thế nào để tìm các hàm đo thông lượng
$$\frac{x}{a^2+x^2}, \sqrt{ax+b}, \sin x$$ Làm thế nào để giải phương trình $\dot{y}=\sin x, \dot{y}=\sqrt{ax+b}$?
Và vì vậy Newton đã đi đến ý tưởng rằng tất cả các hàm mà ông biết có thể được viết một cách hoàn toàn thống nhất bằng cách sử dụng chuỗi lũy thừa
$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots,$$
giống như các đa thức vô hạn. Một ví dụ về ký hiệu như vậy là (đối với $|x|<1$) đẳng thức
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\dots+x^n+\dots.$$
Newton viết rằng ông đã đi đến ý tưởng của mình, được hướng dẫn bởi sự tương tự với cách biểu diễn số thập phân bằng phân số: “… học thuyết về biểu thức chữ có cùng mối quan hệ với đại số cũng như học thuyết về phân số thập phân với số học thông thường… Và cũng giống như phân số thập phân có ưu điểm là các phân số và nghiệm chung được biểu thị trong chúng có được ở một mức độ nào đó các tính chất của số nguyên, chuỗi vô hạn của các chuỗi vô hạn theo bảng chữ cái cũng mang lại lợi ích là các biểu thức phức tạp sớm (phân số có mẫu số tổng hợp, căn bậc hai của số lượng hoặc phương trình ẩn, v.v.) có thể được giảm bớt với sự trợ giúp của chúng thành một dãy số lượng đơn giản…”

Newoton thu được sự mở rộng chuỗi lũy thừa cho các hàm $a^x$, $\log_a(1+x)$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, cũng như cho các hàm phân số và hàm vô tỉ. Chính để phân rã cái sau mà Newoton đã tổng quát hóa công thức nhị thức được biết đến với số nguyên dương $n$
$$(a+x)^n = a^n + na^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}x^2 + \dots + x^n$$
đối với trường hợp số mũ là số hữu tỉ $r$:
$$(a+x)^r = a^r + ra^{r-1}x + \frac{r(r-1)}{1.2}a^{r-2}x^2 + \dots$$
Khi $r$ không phải là số nguyên, số hạng của tổng