Lời giải bài toán M403, M405—M409; F413—F415, F417—F422

46

F461. Mỗi mét vuông bề mặt cơ thể, được làm nóng đến nhiệt độ $T$, sẽ phát ra năng lượng $E = 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot T^4$ m trên một đơn vị thời gian. Ở khoảng cách nào từ Mặt trời, bụi sắt biến thành giọt nếu mật độ dòng bức xạ mặt trời (năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích trên một đơn vị thời gian) trong quỹ đạo Trái đất là $W = 1400$ vm/$m^2$? Nhiệt độ nóng chảy của sắt được lấy là 1535°K, khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là 150·10⁹ m.

A. Stasenko

F462. Nếu bộ điều chỉnh nhiệt của bàn ủi điện được đặt ở vị trí “nylon”, bàn ủi sẽ bật định kỳ trong 10 giây và tắt trong 40 giây. Bề mặt của bàn ủi được nung nóng đến nhiệt độ 100°C. Nếu bộ điều chỉnh nhiệt được đặt ở vị trí “vỗ tay”, máy sưởi sẽ bật định kỳ trong 20 giây và tắt trong 30 giây. Xác định nhiệt độ đã thiết lập của bề mặt sắt ở vị trí này của bộ điều nhiệt. Tìm nhiệt độ mà bếp đang bật sẽ nóng lên nếu bộ điều chỉnh nhiệt bị hỏng.

Giả sử rằng sự truyền nhiệt tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa bàn ủi và không khí xung quanh. Nhiệt độ trong phòng là 20°C.

V. Skordarov

Lời giải bài toán

M403, M405 — M409; F413 — F415, F417 — F422

M403. Chứng minh rằng nếu trong một đa tạp lồi có một số cạnh nhất định xuất hiện từ mỗi đỉnh thì trong bất kỳ phần nào của nó có một mặt phẳng không đi qua bất kỳ đỉnh nào của nó, chúng ta thu được một đa giác có số cạnh nhất định.

Thật dễ dàng để xác minh rằng đa biên của chúng ta có thể được tô bằng hai màu—ví dụ: trắng và đỏ—để hai mặt liền kề (dựa trên cạnh) bất kỳ có màu khác nhau. Trong thực tế, hãy sắp xếp đa biên sao cho tất cả các đỉnh của nó có độ cao khác nhau (nghĩa là sao cho không có cạnh và không có đường chéo nào song song với đường ngang - xem Hình 1. Hãy vẽ một mặt phẳng đi qua đỉnh của mặt phẳng ngang. Hạ dần mặt phẳng này xuống, chúng ta tô màu đa biên theo cách yêu cầu: vì một số mặt chẵn hội tụ tại mỗi đỉnh nên gần đỉnh chúng ta có thể chọn màu của các mặt

Cơm. 1.

49

M408. Một hình chữ nhật tương tự như hình ban đầu được tạo từ 30 hình chữ nhật có thể tải được. Tỷ lệ chiều dài đường thẳng của hình chữ nhật này có thể là bao nhiêu?

Cơm. 7

Lấy chiều dài nhỏ hơn cạnh của hình chữ nhật (nhỏ) ban đầu làm một và đặt chiều dài của nó lớn hơn cạnh $a$ ($a > 1$). Gọi $A$ là chiều dài cạnh lớn hơn của hình chữ nhật “tổng hợp” và $B$ chiều dài cạnh ngắn hơn của nó. Vì hình chữ nhật lớn hơn bao gồm các hình nhỏ có cạnh dài là 1 và $a$, nên anh ta sẽ tìm các số $x, y, z$ và $t$ sao cho $A = x + ay, B = z + at$. Hơn nữa, diện tích hình chữ nhật lớn gấp 30 lần diện tích hình chữ nhật nhỏ. Điều này có nghĩa là hình chữ nhật lớn $A \times B$ tương tự như hình chữ nhật nhỏ $a \times 1$ với hệ số $\sqrt{30}$. Đó là lý do tại sao

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{30}a, \\ z + at = \sqrt{30}. \end{cases}$$

Từ đây

$$a = \frac{x}{\sqrt{30} - y} = \frac{\sqrt{30} - z}{t},$$

$$yz + 30 - xt = (y + z)\sqrt{30}.$$

(*)

Vì $\sqrt{30}$ là số vô tỷ nên đẳng thức cuối cùng chỉ có thể xảy ra nếu $y = -z$. Ngược lại, đẳng thức $y = -z$ chỉ có thể xảy ra với $y = z = 0$ (xét cho cùng, $y$ và $z$ cũng là số tự nhiên!). Vì vậy, $A = x \cdot 1, B = t \cdot a$.

Điều này có nghĩa là từ ba mươi hình chữ nhật nhỏ, bạn có thể tạo một hình chữ nhật lớn tương tự như chúng, chỉ sắp xếp các hình chữ nhật này như trong Hình 7: các hình chữ nhật ban đầu nằm như thể nằm ngang với hình lớn - những hình chữ nhật lớn hơn được làm từ các cạnh nhỏ hơn.

Thay $y = z = 0$ theo (*), chúng ta được $xt = 30$, vì vậy $x$ và $t$ là một số ước của số 30. Và cuối cùng, tỷ lệ mong muốn $a = \frac{\sqrt{30}}{t}$, trong đó $t$ là một số ước của 30: $t = 1, 2, 3, 5$.

P. Pankov

M409. 1000 số được viết thành một hàng. Bên dưới là dòng số thứ hai theo quy tắc sau: dưới mỗi số $A$ của dòng đầu tiên, một số tự nhiên được tính, biểu thị bằng số lần $A$ xuất hiện ở dòng đầu tiên. Từ dòng thứ hai, dòng thứ ba được phóng đại tối đa: dưới mỗi số $B$ của dòng thứ hai, một số tự nhiên được tính, biểu thị bằng số lần $B$ xuất hiện ở dòng thứ hai. Sau đó, từ dòng thứ ba, dòng thứ tư là lúa mì, dòng thứ tư là rượu say, v.v.

a) Chứng minh rằng một chuỗi nhất định giống với chuỗi tiếp theo.

b) Hơn nữa, chứng minh rằng dòng thứ nhất trùng với dòng thứ 12.

c) Cho ví dụ về đường cực đại mà đường thứ 10 không trùng với đường thứ 11.

a) Rõ ràng, bắt đầu từ dòng thứ hai, tất cả các số trong bảng đều không lớn hơn 1000. Ngoài ra, mỗi số không lớn hơn số viết bên dưới nó. Do đó, tổng các số ở dòng thứ ba không nhỏ hơn ở dòng thứ hai, v.v.; và mỗi số tiền này không quá một triệu. Do đó, vì tất cả các tổng không thể tăng nên ở mỗi hàng liền kề các tổng trùng nhau và sau đó các hàng đó trùng nhau.

b) Chứng minh rằng nếu ở dòng $m$, tại $m \ge 2$, số đó khác số viết ở trên thì không nhỏ hơn $2^{m-2}$. Thật vậy, đối với $m = 2$ điều này là hiển nhiên, vì tất cả các dòng thứ hai đều tự nhiên. Hãy kiểm tra điều này cho tất cả các dòng có số nhỏ hơn $m$. Đặt số $a$ được viết ở dòng thứ $m - 1$ và số $b$, lớn hơn $a$, được viết bên dưới nó. thì dòng thứ $m - 1$ chứa $b$ số bằng $a$. Rõ ràng là ở dòng thứ $m - 2$ sẽ có một số nhóm số giống hệt nhau, các số $a$ trong mỗi nhóm và các số từ các nhóm khác nhau là khác nhau. Theo đó, $b$ chia hết cho $a$, tức là $b \ge 2a$. Ngoài ra, ít nhất một trong các số trong các nhóm này khác với $a$ và do đó khác với giả định chỉ báo $a \ge 2^{(m-1)}-2$. Vì vậy, $b \ge 2a \ge 2^{m-2}$. Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh bằng dấu hiệu cho tất cả $m \ge 2$. Nếu chúng ta giả định rằng dòng thứ 11 khác với dòng thứ 12 thì một số ở dòng thứ 12 sẽ lớn hơn $2^{12-2} = 1024 > 1000$, điều này là không thể.

c) Lý luận trước đây cho rằng:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;
1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;
2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, 488, …, 488;

256, …, 256, 488, …, 488;
512, …, 512, 488, …, 488

50

(ở dòng đầu tiên 0 và 1 xuất hiện một lần, 2 - hai lần, 4 - bốn lần, 8 - tám lần, …, 256-256 lần, 488 xuất hiện 488 lần; ở dòng thứ 11, số 512 xuất hiện 512 lần và số 488 xuất hiện 488 lần).

Một quan sát thú vị được kết nối với nhiệm vụ của chúng tôi. Hãy lấy một số văn bản có ý nghĩa được viết bằng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga (hoặc bất kỳ bảng chữ cái nào khác). Bên cạnh mỗi chữ cái, chúng ta sẽ viết số lần nó được lặp lại trong văn bản này và sau đó chúng ta sẽ lập một bảng như chúng ta đã làm trước đây. Trong ví dụ ở Hình 8, cột thứ năm đã trùng với cột trước đó: cột số thứ tư là cột cuối cùng. Hóa ra, đối với các văn bản có ý nghĩa có nội dung và độ dài khác nhau, số lượng cột số không lặp lại không bao giờ ít hơn hai hoặc nhiều hơn bốn - các ví dụ có một hoặc một phần năm cột trở lên đều không xác định. Ví dụ về văn bản có bốn cột không lặp lại (ví dụ của chúng tôi) là rất hiếm. Tất nhiên, có thể tìm thấy một tập hợp các chữ cái lặp lại sao cho cột số cuối cùng trong bảng là cột thứ mười. Từ bộ chữ cái này, bạn thậm chí có thể tạo thành các từ bằng cách sử dụng tất cả các chữ cái; nhưng vẫn chưa thể soạn được một văn bản có ý nghĩa. Tại sao lại như vậy, chúng tôi không biết. Hiện tại đây chỉ là một quan sát thú vị. Cố gắng tìm hoặc soạn một văn bản có ý nghĩa sao cho theo bảng, cột số cuối cùng là cột đầu tiên hoặc thứ năm. Có lẽ bài toán đầu tiên dễ dàng hơn: xét cho cùng, yêu cầu rất đơn giản - các chữ cái khác nhau phải xuất hiện trong văn bản với số lần khác nhau.

M. Serov

F413. Có một lớp chặn lý tưởng với điểm nối p-n. Độ dày lớp Emod d, loại thực phẩm điện môi e. Vẽ đồ thị cường độ và đặt điện trường trong lớp, vẽ đồ thị phân bố mật độ điện tích trong lớp tối đa hóa như trên Hình 9.

Chúng ta hãy xem xét điểm $A$, nằm ở khoảng cách $x$ tính từ giữa lớp chặn (Hình 10) và tìm cường độ điện trường tại điểm này. Chúng ta hãy chia toàn bộ lớp thành các phần rất mỏng có độ dày $\Delta l$ và lấy hai phần như vậy nằm đối xứng với giữa lớp. Các phần được chọn tạo thành một tụ điện phẳng có mật độ điện tích $\Delta \sigma = \rho_0 \Delta l$. Hiệu điện thế của điện trường do tụ điện tạo ra giữa hai bản của nó bằng

$$|\Delta E| = \frac{\Delta \sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{\rho_0 \Delta l}{\varepsilon_0 \varepsilon},$$

và bên ngoài tụ điện nó bằng không.

Theo nguyên lý chồng chất, cường độ trường $\vec{E}$ tại điểm $A$ bằng tổng cường độ của các tụ điện đó. Trong trường hợp này, những tụ điện có bản tụ ở khoảng cách lớn hơn $|x|$ tính từ giữa lớp sẽ chịu trách nhiệm tạo ra điện trường:

$$|\vec{E}| = \sum \frac{\rho_0 \Delta l}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 \varepsilon} \sum \Delta l = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 \varepsilon} \left(\frac{d}{2} - x\right).$$

Tương tự cho điểm $C$ tọa độ $0 \geq x \geq -d/2$

$$|\vec{E}| = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 \varepsilon} \left(\frac{d}{2} + x\right).$$

51

Đồ thị cường độ điện trường trong lớp rào cản được thể hiện trên Hình 11.

Bây giờ chúng ta hãy tìm xem điện thế của trường thay đổi như thế nào. Chúng ta hãy chọn thế năng của các điểm có tọa độ $x = 0$ bằng 0, tức là ở giữa lớp. Khi đó, thế năng của điểm $A$ bằng công của điện trường để di chuyển một điện tích dương đơn vị từ điểm này đến giữa lớp. Lực tác dụng lên điện tích trong quá trình chuyển động như vậy có hướng ngược lại với chuyển động, do đó công và do đó điện thế tại điểm $A$ là âm. Các giá trị tuyệt đối của thế năng $\varphi_A$ dễ tìm thấy nhất bằng đồ họa:

$$|\varphi_A| = \frac{\rho_0}{2\varepsilon_0} x^2 - \frac{\rho_0 d}{2\varepsilon_0} x.$$

(Tự lấy biểu thức cho điểm thế năng với tọa độ $0 \geq x \geq -d/2$.) Biểu đồ thay đổi thế năng được hiển thị trong Hình 12.

F414. Hệ số độ cứng của sắt cao su có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ bằng $k$. Chiếc nhẫn làm bằng sắt biểu tượng cảm xúc được hàn lại với vận tốc góc $\omega$ trong mặt phẳng nằm ngang xung quanh chiếc nhẫn. Xác định bán kính $R$ của vòng chữa bệnh.

Cơm. 13.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $L$ chiều dài của vòng chữa lành ($L=2\pi R$). Hãy xem xét một phần nhỏ của chiếc nhẫn có chiều dài $\Delta L$. Khối lượng của nó

$$\Delta m = \frac{m}{L} \Delta L.$$

Vùng được chọn ở các đầu của nó chịu tác dụng của hai lực căng $\vec{T}$, hướng dọc theo vòng tiếp tuyến (Hình 13).

Trạng thái cân bằng $\vec{F}$ của chúng hướng thẳng vào tâm vòng và truyền gia tốc hướng tâm $|\vec{a}| = \omega^2 R$ đến diện tích đang xem xét. Từ Hình 13

$$|\vec{F}| = 2|\vec{T}| \sin \alpha/2.$$

Hãy viết phương trình chuyển động của phần đã chọn:

$$|\vec{F}| = |\vec{a}| \Delta m,$$

hoặc

$$2|\vec{T}| \sin \frac{\alpha}{2} = \omega^2 R \frac{m \Delta L}{L}.$$

Từ

$$|\vec{T}| = k(L - l),$$

và ở những góc nhỏ

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} = \frac{\Delta L}{2R},$$

chúng tôi nhận được

$$k(2\pi R - l) \frac{\Delta L}{R} = \frac{\omega^2 m}{2\pi} \Delta L.$$

Từ đây

$$R = \frac{l}{2\pi} \frac{1}{1 - \frac{\omega^2 m}{4\pi^2 k}}.$$

I. Slobodetsky

F415. Một cách đơn giản, năng lượng có thể được biểu diễn dưới dạng một hệ trong đó hai electron tạo thành các vòng xung quanh một tâm chung - một hạt nhân đứng yên. Sử dụng mô hình này, hãy thử ước tính công suất điện môi gần đúng của chất lỏng

bài toán này chắc chắn thuộc về những nhiệm vụ khó khăn và thậm chí còn vượt xa phạm vi chương trình giảng dạy ở trường.

Theo điều kiện bài toán lực là một nửa bức xạ OU có bước sóng $\lambda=0,06$ µm. Điều này có nghĩa là bức xạ như vậy gây ra dao động của các electron trong nguyên tử gel với biên độ lớn (điều này dẫn đến sự hấp thụ mạnh), nghĩa là xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Bất kỳ chất nào cũng có khả năng hấp thụ mạnh bức xạ có tần số trùng với tần số cộng hưởng

52

các bộ phận nguyên tử của nó. Kể từ đây,

$$v_{\text{pe}_3} = \frac{c}{\lambda} = 5 \cdot 10^{15} \text{ e} \mu.$$

Chúng ta sẽ giả sử rằng các electron trong nguyên tử gel được kết nối với hạt nhân bằng liên kết đàn hồi (“lò xo”). Biết được tần số cộng hưởng, chúng ta có thể tính được hệ số “độ cứng” $k$ của một “lò xo” như vậy:

$$2\pi v_{\text{pe}_3} = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

Và

$$k = 4\pi^2 v_{\text{pe}_3}^2 m \approx 9 \cdot 10^2 \text{ ke} / \text{cek}^2$$

(ở đây $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ ke}$ là khối lượng electron).

Nếu một nguyên tử như vậy được đặt trong một điện trường không đổi có hướng $\vec{E}$ thì mỗi electron sẽ bị dịch chuyển từ vị trí cân bằng đến một khoảng $\Delta x = \frac{e |\vec{E}|}{k}$, trong đó $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ k}$ là điện tích của electron. Nguyên tử có thể bị lệch hướng giống như một lưỡng cực điện. Hành vi của nó trong điện trường có thể được đặc trưng bởi mômen lưỡng cực

$$p = 2e\Delta x = \frac{2e^2 |\vec{E}|}{k}.$$

Một đơn vị thể tích vật chất thu được mômen lưỡng cực

$$P = Np = \frac{2e^2 N}{k} |\vec{E}|.$$

Ở đây $N$ là nồng độ của các nguyên tử, có thể được xác định bằng cách biết mật độ $\rho$ của gel lỏng và khối lượng mol của nó $\mu$:

$$N = N_A \frac{\rho}{\mu} \approx 2 \cdot 10^{28} \text{ m}^{-3},$$

trong đó $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ là số Avogadro.

Hiện tượng xuất hiện lưỡng cực điện trong một chất trong điện trường được gọi là phân cực điện môi. Khả năng phân cực của một chất được đặc trưng về mặt định lượng bởi hệ số phân cực $\alpha$, hệ số này tính theo đơn vị SI được xác định từ sự tương ứng

$$P = \alpha \varepsilon_0 |\vec{E}|,$$

trong đó $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \kappa^2 / (\mu \cdot m^2)$ là hằng số điện. Trong trường hợp của chúng tôi

$$\alpha = \frac{P}{\varepsilon_0 |\vec{E}|} = \frac{2e^2 N}{\varepsilon_0 k}.$$

Điện dung của chất $\varepsilon$ liên hệ với hệ số phân cực $\alpha$ tương ứng

$$\varepsilon = 1 + \alpha = 1 + \frac{2e^2 N}{\varepsilon_0 k}.$$

Thay vào đây các giá trị số của các đại lượng tương ứng, ta tìm được

$$\varepsilon \approx 1 + \frac{2(1,6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot 2 \cdot 10^{28}}{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 9 \cdot 10^2} \approx 1,13.$$

Kết quả thu được khá phù hợp với giá trị thực nghiệm về khả năng điện môi của gel lỏng.

C. Dê

53

F416*). Một bình cách nhiệt bằng phấn chứa 5 e hydro và 12 e oxy. Hỗn hợp PodzhizZAIM. Xác định áp suất và nhiệt độ ở trạng thái biết rằng khi tạo thành 1 mol nước thì lượng nhiệt $Q_0=2,4.10^5$ J toả ra. Thể tích của bình là 100 lít. Nhiệt độ ban đầu của hỗn hợp oxy và hydro là $t_0=20^\circ C$. Nhiệt độ riêng của nước ở thể tích không đổi là $c_B=14,3$ kJ/(kk.eraD), và nhiệt độ riêng của hơi nước là $c_\pi=2,1$ kJ/(kk.eraD).

Khi hỗn hợp cháy sẽ xảy ra phản ứng hóa học
$$2H_2 + O_2 = 2H_2O,$$
kết quả là nước được hình thành (chính xác hơn là hơi nước). Trong trường hợp này, 2 mol (hoặc 4 e) hydro kết hợp với 1 mol (hoặc 32 e) oxy. Vì chỉ có 12 e oxy trong bình nên $\frac{4\cdot12}{32}=1,5$ e hydro tham gia phản ứng và $m_1=13,5$ e hơi nước được hình thành. $m_2=3,5$ e hydro còn lại sẽ không phản ứng và sẽ có trong bình cùng với hơi nước.

Vì khối lượng mol của nước là 18 e/mol, 13,5 e của nước là $n=\frac{13,5}{18}$ mol và khi hỗn hợp hòa tan, lượng nhiệt tỏa ra là $Q=nQ_0=1,8\cdot10^5$ J. Năng lượng này làm tăng nội năng của hơi nước và hydro:

$$Q=(c_\pi m_1+c_B m_2)\Delta T,$$
trong đó $\Delta T=T-T_0$ là sự thay đổi nhiệt độ của khí. Từ đây chúng ta tìm thấy $T$:

$$T=T_0+\Delta T=T_0+\frac{Q}{c_\pi m_1+c_B m_2}\approx2800\text{ ераД}.$$

Theo định luật Dalton, áp suất trong bình bằng tổng áp suất riêng phần của nước và hydro:

$$p=p_\pi+p_B.$$
Theo phương trình trạng thái khí,

$$p_\pi=\frac{m_1}{\mu_\pi}\frac{RT}{V} \text{ и } p_B=\frac{m_2}{\mu_B}\frac{RT}{V}.$$

Kể từ đây,

$$p=\left(\frac{m_1}{\mu_\pi}+\frac{m_2}{\mu_B}\right)\frac{RT}{V}\approx5,6\cdot10^5\text{ н/m}^2.$$

I. Tiếng Slovodechkiy

F418. Các ô cửa sổ liền kề được xếp chồng lên nhau hầu như không thể tách rời nhau nếu không cố gắng xé tấm này khỏi tấm kia. Tại sao?

Cơm. 14.

*) Lời giải bài toán F416 sẽ được đăng trên một trong những số sắp tới của tạp chí.

Đặt các cạnh của các tấm là đường thẳng, độ dày của lớp nước giữa các tấm là $d$. Vì nước làm ướt kính nên bề mặt tự do của nước ở các cạnh của tấm kính sẽ bị cong. Chúng ta sẽ giả sử rằng nước làm ướt hoàn toàn kính. Khi đó bề mặt tự do của nó là một phần của bề mặt hình trụ có bán kính tiết diện $r=d/2$ (Hình 14). Độ cong của bề mặt chất lỏng còn dẫn đến áp suất của chất lỏng bên trong (trong nước giữa các bản) và áp suất bên ngoài không giống nhau. Chúng ta hãy xem sự khác biệt giữa những áp lực này là gì.

Một lớp chất lỏng mỏng tác dụng lên bề mặt tự do của nó chịu tác dụng của áp suất bên ngoài, lực ép của nước và lực căng bề mặt. Nếu chiều dài của ranh giới bề mặt tự do bằng $l$ (kích thước tuyến tính của các tấm), thì lực căng bề mặt bằng $2\sigma l$, trong đó $\sigma$ là hệ số căng bề mặt của chất lỏng. Viết điều kiện cân bằng của chất lỏng:

$$pld=2\sigma l+p'ld,$$

trong đó $p$ là áp suất bên ngoài, $a$ $p'$ là áp suất của chất lỏng bên trong. Do đó có sự chênh lệch áp suất, gây tắc nghẽn. Ở trạng thái cân bằng, các tấm được chứa với nhau ở butorki phía trên (Hình 15). Phản lực sinh ra tác dụng từ

55

F420. Trên giá đỡ ACBOE làm bằng 6 thanh cứng không thẳng đứng có cùng chiều dài, nối bằng bản lề (Hình 16), một vật có khối lượng m được treo tại điểm C. Thanh AB bị kéo căng hay nghiêng? Lực đàn hồi nhỏ nhất tập trung vào thanh này.

Cơm. 16.

Cơm. 17.

Cơm. 18.

F421. Một hình trụ có thành mỏng bán kính R được quay đến tốc độ mục tiêu w và giữ ở một góc không đổi (Hình 19). Hệ số ma sát trượt giữa thành bánh xe và mặt trụ bằng μ. Xác định xem xi lanh sẽ quay được bao nhiêu vòng trước khi dừng lại.

Cách dễ nhất để tìm hiểu xem một thanh cụ thể trong hệ thống bản lề có phát triển hay nghiêng như sau. Chúng ta hãy loại bỏ lõi liên kết chúng ta khỏi hệ thống và xem phần còn lại của hệ thống hoạt động như thế nào. Nếu các bản lề trước đây nằm ở hai đầu của thanh được đề cập, sau khi tháo nó ra (tinh thần) bắt đầu di chuyển lại gần nhau hơn, điều đó có nghĩa là thanh bị dốc và cản trở việc tiếp cận. Ngược lại, nếu hai bản lề này phân kỳ nghĩa là chúng ta đã tháo thanh trồng ra.

Sử dụng phương pháp này, có thể dễ dàng xác định rằng trong khung ACBOE, các thanh CB, BO và OA phát triển, còn các thanh AC, AE và thanh liên giới tính AB có độ dốc.

Từ đó ta hãy tìm trị số của lực đàn hồi trong thanh AB. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng bất kỳ thanh nào cũng có thể tác dụng lên bản lề nằm ở đầu của nó chỉ với một lực hướng dọc theo thanh đó. Thật vậy, nếu không như vậy thì theo định luật thứ ba của Newton, bản lề cũng sẽ tác dụng lên thanh với một lực không hướng dọc theo thanh. Một lực như vậy sẽ tạo ra một mômen trục tương đối thông qua bản lề ở đầu kia của thanh. Kết quả là thanh sẽ quay quanh bản lề thay vì ở trạng thái cân bằng.

Xét bản lề C (Hình 17). Vì thanh AC dốc và BC lớn lên nên ba lực tác dụng lên bản lề C tạo thành các góc 120° với nhau. Vì bản lề kết thúc nên cả ba lực phải có mô đun bằng nhau. Tuy nhiên, một trong số đó là lực đàn hồi $F_{yпр}$của sợi dây mà trên đó một vật có khối lượng m treo đứng yên. Đó là lý do tại sao

$$|F_{yпр}| = m|g|, \quad |F_{AC}| = |F_{BC}| = m|g|.$$

Bản lề B cũng chịu tác dụng của ba lực tạo thành góc 120° với nhau (Hình 18). Tuy nhiên, sức mạnh được biết đến.

Đây là lực đàn hồi của thanh BC bị kéo căng: $|F_{BC}| = m|g|$. Do đó, các lực còn lại tác dụng lên bản lề B, cụ thể là lực đàn hồi của thanh BO bị kéo căng và lực đàn hồi mong muốn của thanh cán AB, đều bằng nhau. Nói cách khác,

$$|F_{AB}| = m|g|.$$

bài toán này cũng có thể được giải quyết một cách mạnh mẽ. Giả sử rằng chúng ta đã kéo dài thanh AB thêm một lượng không đáng kể Δx. Để làm được điều này, cần phải thực hiện công chống lại lực đàn hồi mong muốn $F_{AB}$. Công $\Delta A = |F_{AB}| \Delta x$ này làm tăng thế năng của hệ vì tải có khối lượng m tăng lên. Hơn nữa, nó sẽ tăng lên bằng mức độ mà bản lề C tăng lên. Mức độ chuyển động của bản lề C có thể được tìm thấy từ những thông báo như vậy. Đường chéo OC (tưởng tượng) của hình thoi OCB đi qua giữa thanh AB và nằm ngang trước khi tháo thanh AB. Sau khi nhấc thanh ra một đoạn nhỏ Δx thì phần giữa của thanh AB nhô lên Δx/2. Do đó, phần giữa của đường chéo tưởng tượng của hình thoi cũng tăng Δx/2. Phần cuối của đường chéo này (tức là điểm C) tăng lên Δh = 2Δx/2 = Δx. Do đó $|F_{AB}| \Delta x = m|g| \Delta h$, và do đó,

$$|F_{AB}| = m|g|.$$

B. Bukhovtsev

Do hình trụ và các thành góc có ma sát nên tốc độ góc quay của hình trụ giảm dần theo thời gian. Theo định lý động năng, độ biến thiên động năng của hình trụ bằng công do các lực tác dụng lên nó thực hiện. Rõ ràng là trong trường hợp của chúng ta, công của lực ma sát $F_{тр1}$ và $F_{тр2}$ giảm đi (xem Hình 19). Vì vậy, trước hết chúng ta sẽ không tiêu diệt các lực lượng này.

56

Xi lanh không di chuyển về phía trước. Điều này có nghĩa là lực hấp dẫn bằng nhau $mg$, phản lực của các bức tường góc $\vec{N}_1$ và $\vec{N}_2$ và lực ma sát $\vec{F}_{\text{тр1}}$ và $\vec{F}_{\text{тр2}}$ bằng không. Chiếu lực lên trục thẳng đứng và trục ngang và viết điều kiện cân bằng tương ứng:

$$|\vec{N}_1| + |\vec{F}_{\text{тр2}}| - |mg| = 0, \quad |\vec{N}_2| - |\vec{F}_{\text{тр1}}| = 0.$$

Bên cạnh đó,

$$|\vec{F}_{\text{тр1}}| = \mu |\vec{N}_1| \quad \mu |\vec{N}_2|.$$

Từ đây

$$|\vec{F}_{\text{тр1}}| = \frac{\mu m |\vec{g}|}{1 + \mu^2} \quad \mu |\vec{F}_{\text{тр2}}| = \frac{\mu^2 m |\vec{g}|}{1 + \mu^2}.$$

Để xi lanh quay $n$ trước khi dừng lại. Điều này tương ứng với sự thay đổi trong cách tác dụng lực ma sát ở khoảng cách $2\pi Rn$. Công do lực ma sát thực hiện bằng

$$-(|\vec{F}_{\text{тр1}}| + |\vec{F}_{\text{тр2}}|) 2\pi Rn = -\frac{2\pi Rn \mu (1 + \mu) m |\vec{g}|}{1 + \mu^2}.$$

Đánh đồng công này với sự thay đổi động năng của hình trụ

$$0 - \frac{m\omega^2 R^2}{2},$$

hãy tìm $n$:

$$n = \frac{\omega^2 R (1 + \mu^2)}{4\pi \mu |\vec{g}| (1 + \mu)}.$$

◆

Trong chất điện môi, điện trường định hướng bị suy yếu $\varepsilon$ lần. Do đó, ở cùng mật độ điện tích và hướng, vì chúng dẫn điện trên các bề mặt. Do đó, giữa hai quả cầu bất kỳ thuộc các quả cầu khác nhau thì hiệu điện thế phải như nhau. Rõ ràng, để làm được điều này, mật độ điện tích ở nửa dưới của tụ điện phải lớn hơn $\varepsilon$ lần so với ở nửa trên. Trong trường hợp này, điện trường trong toàn bộ tụ điện sẽ giống như trong tụ điện điện môi, nhưng có cùng mật độ điện tích ở nửa trên và nửa dưới.

Bây giờ hãy tìm giá trị EM của tụ điện. Để làm điều này, bạn cần biết điện tích của tụ điện và hiệu điện thế giữa các bản của nó. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\sigma$ mật độ điện tích ở nửa trên của tụ điện và bằng $S$ diện tích bề mặt của quả cầu bên trong. Khi đó tụ điện được nạp

$$q = \sigma S/2 - \varepsilon \sigma S/2.$$

Như chúng ta đã nói, điện trường của tụ điện bên trong giống như trong tụ điện điện môi, nhưng có cùng mật độ điện tích $\sigma$, nghĩa là có điện tích phân bố đều

$$q' = \sigma S.$$

Vì vậy, sự khác biệt tiềm năng giữa các tấm

$$\Delta q = \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 r} - \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{\sigma S}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R - r}{rR}.$$

Chia $q$ cho $\Delta q$ ta tìm được xương EM $C$:

$$C = \frac{q}{\Delta q} = \frac{(1 + \varepsilon) \sigma S/2}{\frac{\sigma S}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R - r}{rR}} = \frac{2\pi \varepsilon_0 (1 + \varepsilon) rR}{R - r}.$$

I. Tiếng Slovodechkiy