Phương trình hàm trên mặt cầu

57

A. Lodkin

Phương trình hàm trên mặt cầu

Trong ghi chú này, chúng ta sẽ giải bài toán, bài toán được đưa ra cho học sinh lớp 10 ở loại X (nghiên cứu) thứ hai của Kỳ thi Toán toàn Liên đoàn. bài toán này đã được đặt trong “Bài tập cho Kvanta” («Kvant», 1976, Số 10, M410). Chúng ta hãy nhớ lại công thức của nó.

Trên một hình cầu có bán kính 1, một đường tròn lớn được vẽ mà chúng ta gọi là đường đẳng giác. Sẽ thuận tiện cho chúng ta sử dụng các thuật ngữ địa lý khác: sọc, kinh tuyến, song song.

a) Chúng ta hãy định nghĩa một hàm f trên mặt cầu này gán cho mỗi điểm trên mặt cầu bình phương khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng xích đạo. Kiểm tra xem chức năng này có các thuộc tính sau:

nếu $M_1, M_2, M_3$ là hai đầu của ba bán kính vuông góc với nhau của hình cầu thì $f(M_1) + f(M_2) + f(M_3) = 1$. (*)

Trong tất cả các đoạn văn sau, f là một hàm không âm tùy ý trên mặt cầu, hàm này triệt tiêu tại mọi điểm của xích đạo và có các tính chất (*).

b) Gọi M và N là các điểm có cùng kinh tuyến nằm giữa dải phía bắc và đường xích đạo. Hãy chứng minh rằng nếu điểm M ở xa mặt phẳng xích đạo hơn điểm N thì $f(M) \geq f(N)$.

c) Gọi M và N là các điểm tùy ý của hình cầu. Hãy chứng minh rằng nếu một điểm M ở xa mặt phẳng xích đạo hơn N thì $f(M) \geq f(N)$.

2. Chứng minh rằng hàm số f trùng với hàm số mô tả ở phần a).

Lời giải bài toán a)

Bài toán a) thực ra có trong sách giáo khoa “Hình học 10” (§ 43, bài toán 14). Đây là cô ấy lời giải. Chúng ta hãy cho một hình chữ nhật (khung) $\vec{OM}_1, \vec{OM}_2, \vec{OM}_3$. Xét vectơ $\vec{OP}$, trong đó P là các sọc của hình cầu. Gọi F (M) biểu thị bình phương tích vô hướng của vectơ $\vec{OM}$ với $\vec{OP}: F(M) = (\vec{OM} \cdot \vec{OP})^2$. Rõ ràng F là hàm tương tự được đề cập ở phần a). Tọa độ của vectơ $\vec{OP}$ trong cơ sở $\vec{OM}_1, \vec{OM}_2, \vec{OM}_3$, rất indo, bằng khoảng cách từ điểm $M_1, M_2, M_3$ đến mặt phẳng xích đạo. Nhưng bình phương vô hướng của vectơ $\vec{OP}$ bằng một. Điều này cho chúng ta một hàm tương ứng trên mặt cầu, bằng 0 tại mọi điểm của đường đẳng giác và có các tính chất (*).

Lời giải bài toán b) và c)

Rõ ràng, điểm b) bài toán suy ra từ c); Do đó, ta chứng minh ngay khẳng định ở điểm b).

Hình 1.

58

Từ điều kiện (*), hàm $f$ nhận cùng các giá trị tại các điểm đối xứng đường kính của hình cầu. Vì vậy, chúng ta chỉ cần xem xét giá trị của hàm đối với các điểm ở bán cầu bắc là đủ.

Vì vậy, gọi $M$ và $N$ là hai điểm ở bán cầu bắc. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu $M$ ở xa mặt phẳng xích đạo hơn $N$, thì $f(M) \geq f(N)$.

Bằng chứng. Khoảng cách là chu vi của một vòng tròn lớn có điểm cực bắc là $M$. Giả sử $\Gamma_M$ là một phần của vòng tròn này nằm ở bán cầu bắc.

Trước tiên chúng ta giả sử rằng $N$ cũng nằm trên $\Gamma_M$. Chúng ta cũng hãy biểu thị bằng $N'$ điểm của tâm hồn $\Gamma_M$ rằng $[ON'] \perp [ON]$, và bằng $M'$ một trong hai điểm giao nhau của tâm hồn $\Gamma_M$ với đường xích đạo. Khi đó từ (*) đẳng thức $f(N) + f(N') = f(M) + f(M')$ theo sau, vì $[OM] \perp [OM']$ và các điểm $M, M', N, N'$ nằm trong cùng một mặt phẳng, nên đối với các điểm $M, M'$ và $N, N'$ điểm “thứ ba” sẽ giống nhau: điểm cuối của bán kính vuông góc với mặt phẳng của đường tròn $\Gamma_M$. Vì $f(M') = 0$, nên $f(M) \geq f(N)$.

Giả sử bây giờ điểm $N$ nằm trong vùng bán cầu bắc nằm ở phía nam của $\Gamma_M$. Sau đó tìm một điểm $Q$ trên $\Gamma_M$ sao cho cung của đường tròn lớn $\Gamma_Q$ đi qua $N$ (Hình 2). Áp dụng phép tính trước cho tham số của điểm $M$ và $Q$, $N$, ta thu được các bất đẳng thức $f(M) \geq f(Q) \geq f(N)$.

Nếu $N$ nằm ở phía bắc của $\Gamma_M$ thì có thể mất nhiều hơn hai bước để “đi xuống” từ $M$ đến $N$. Chúng ta hãy chia góc $\lambda$ giữa các mặt phẳng kinh tuyến $m$ và $n$, lần lượt đi qua các điểm $M$ và $N$ thành $k$ các phần bằng nhau của mặt phẳng kinh tuyến $m_1, \dots, m_{k-1}$ (Hình 3). Hãy để $M$ dọc theo cung $\Gamma_M$ và tại điểm $M_1$ của giao điểm của cung này với kinh tuyến $m_1$ chúng ta rẽ vào cung $\Gamma_{M_1}$. Khi đến điểm $M_2$ giao nhau $\Gamma_{M_1}$ với $m_2$, chúng ta chuyển sang $\Gamma_{M_2}$, v.v. Điểm cuối cùng của hành trình của chúng ta sẽ là điểm $M_h$ tại $n$. Bạn, rất cá tính, nhận thấy rằng $k$ càng lớn thì quỹ đạo đi xuống càng “phẳng”. Không khó để chứng minh rằng vĩ độ $\varphi(M_h)$ của điểm $M_h$ có thể tiếp cận $\varphi(M)$ một cách phù hợp (lưu ý rằng $tg\varphi(M_h) = tg\varphi(M_{k-1})\cos \frac{\lambda}{k} = \dots = tg\varphi(M)$) với sự trợ giúp của $M_h$, nếu $k$ đủ lớn, nó sẽ ở phía bắc của $N$. Việc giảm dần từ $M_h$ xuống $N$ sẽ mất nhiều hơn hai bước.

Chức năng $f(M)$ chỉ phụ thuộc vào vĩ độ

Chúng ta hãy biểu thị đường vĩ tuyến nằm cách mặt phẳng xích đạo một khoảng $Vx$ bằng $\Pi_x$. Để giải bài toán $r$, chúng ta sẽ gặp một trường hợp như thế này.

Bổ đề. Nếu $x+y+z=1$, chúng ta có thể dựng được một đường thẳng