Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

78

Tùy chọn
giới thiệu
kỳ thi đại học
vào năm 1976

Leningradsky
đại học tiểu bang
họ. A. A. Zhdanova

Đại học Bang Leningrad được mô tả chi tiết trong «Kvant» Số 6 năm 1975 và số 4 năm 1976. Trong số này, chúng tôi trình bày các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh viết môn toán tại các khoa khác nhau của Đại học Bang Leningrad năm 1976.

Khoa Toán Cơ học và Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển

1. Một chùm thông tin $p$ ($6um$ là đơn vị của lượng thông tin) trước tiên được nhập vào thiết bị điều khiển học, sau đó thông tin này được thiết bị điều khiển học xử lý theo một chương trình nhất định, sau đó thông tin mới thu được sẽ được xuất ra thiết bị in. Xác định thời gian hoạt động ngắn nhất có thể của một thiết bị điều khiển học bằng ví dụ xử lý và phát hành thông tin, nếu biết tốc độ xử lý thông tin bằng $c$ chùm tia/giây và nhỏ hơn 3 lần so với tổng tốc độ đầu vào và đầu ra của thông tin và lượng thông tin ở đầu vào và đầu ra là như nhau.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2(x - \sqrt{x^2 - a^2})} > \frac{x + a}{5\sqrt{x - a}}$$
   cho tất cả các giá trị của tham số $a$.

3. Giải phương trình
   $$\sin x + \sqrt{\sin x + \sin 2x - \cos x} = \cos x.$$

4. Cho một tam giác đều $ABC$ có cạnh dài $a$. Trên các cạnh $AB$, $BC$ và $CA$ các đoạn $AA', BB'$ và $CC'$ có độ dài bằng nhau được bố trí theo các hướng $AB$, $BC$ và $CA$ sao cho diện tích tam giác $A'B'C'$ nhỏ hơn $k$ lần so với diện tích tam giác $ABC$. Tìm độ dài của các đoạn được chỉ định.

5. Cho một đường tròn có bán kính $R$ có tâm tại điểm $O$ và đường kính của nó $AB$. Qua điểm $P$, nằm giữa $O$ và $A$ kẻ một dây cung $CD$ vuông góc với đường kính $AB$. Được biết, tổng diện tích bề mặt thu được khi quay bán kính $OC$ quanh đường kính và đoạn hình cầu thu được khi quay cung $AC$, bằng diện tích của đoạn hình cầu thu được khi quay cung $CB$. Tìm $|OP|$.

Khoa Vật lý

1. Xe mặt trăng đang tiến đến một vách đá, tại thời điểm ban đầu tốc độ của nó là $v$, gia tốc $a$ ($a \geqslant 0$), khoảng cách đến thể tích $S$ (tính theo đường thẳng mà xe đang chuyển động). Sau bao lâu, kể từ thời điểm ban đầu, Trái đất phải ra lệnh hãm phanh (trong trường hợp này gia tốc của xe bằng $a_1$) để xe dừng ở mép âm lượng? Khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trăng là $L$, tốc độ truyền tín hiệu vô tuyến là $c$.

2. Trong một cặp tứ giác đều $ABCDH$, độ dài cạnh đáy là $a$, cạnh bên $b$, một mặt phẳng được vẽ song song với đường chéo của đáy $AC$ và cạnh $DH$. Tìm diện tích lớn nhất có thể có của hình do tính ưu việt của mặt phẳng này.

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
   $$2(\sin x - \cos x + 1) \times \times \left(2\cos^2 \frac{x}{2} + \sin x \cdot \mathrm{tg} x - 1\right) + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0,$$
   nằm trong khoảng $|x| < 10$.

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{x+2}(x^2 - 2x + p) \geqslant 2$$
   cho tất cả các giá trị của tham số $p$.

5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x + \frac{1}{y} = 1, \\ xy^2 + \frac{1}{x^2y} = 1 + \frac{y}{x}. \end{cases}$$

Khoa hóa học, tâm lý và kinh tế

1. Vào thời điểm đầu tiên sử dụng pin điện, một trong các điện cực bên trong chứa 20 e rutinium nguyên chất. Kết quả là, sự phục hồi trong ngày đầu tiên ít hơn 5% so với mức tăng phần trăm trong ngày thứ hai. Xác định phần trăm tăng rutin nguyên chất trong ngày đầu tiên, biết rằng trong ngày thứ hai lượng rutin nguyên chất là 1,648 e.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_a(x - 1) + \log_a x > 2.$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin^3 x + 3\cos^3 x}{\sin x + 3\cos x}.$$

4. Cho một hình tam giác $ABC$ có các cạnh $|BC| = a$, $|AC| = b$, $|AB| = c$. Qua điểm $D$ nằm trên cạnh $AB$ vẽ các đường thẳng song song với các cạnh $BC$ và $AC$; $E$ và $F$ là giao điểm của các đường này với các cạnh $AC$ và $BC$. Được biết, $|DE| = |DF|$. Tìm $|AD|$.