Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

84

Lựa chọn B

1. Cho một hàm
   $$f(x) = \lg \frac{1-x}{1+x}.$$
   Tìm miền định nghĩa của nó và chỉ ra rằng
   $$f(a) + f(b) = f\left(\frac{a+b}{1+ab}\right).$$
2. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $y(x) = \sin 2x - x$ trên khoảng [0; π].
3. Tìm $n$ nếu $A_n^5 = 18 A_{n-2}^4$, trong đó $A_n^k$ là số vị trí của phần tử $n$ vào $k$.
4. Cho ba đỉnh liên tiếp của hình bình hành: $A(-3; -2; 0)$, $B(3; -3; 1)$ và $C(5; 0; 2)$. Tìm đỉnh thứ tư $D$ của nó và góc giữa các đỉnh $AC$ và $BD$.
5. Đáy của ví dụ là một hình tam giác có các cạnh bằng 12, 10, 10. Mỗi mặt bên nghiêng với đáy một góc 45°. Tìm ví dụ về khối lượng.

Vật lý
Khoa Vật lý và Hóa học

1. Một quả cầu có khối lượng $m = 100$ e được treo trên một sợi dây không giãn có chiều dài $l = 1$ m. Xác định năng lượng $E$ của ma trận và tốc độ $|v|$ của quả bóng khi đi qua vị trí cân bằng, nếu góc lệch lớn nhất của ma trận so với phương thẳng đứng là $\alpha = 45^\circ$.
2. Hồ có độ sâu $h = 18$ m. Ở dưới đáy, nhiệt độ nước là $t_1 = 6^\circ\text{C}$, còn trên bề mặt $t_2 = 19^\circ\text{C}$, áp suất khí quyển là $p_0 = 760$ mm rm. cm. Bong bóng va chạm ban đầu có thể tích $V_1 = 1$ mm³, từ từ dâng lên từ đáy. Thể tích của nó $V_2$ ở mặt nước sẽ bằng bao nhiêu?
3. Một quả cầu đồng có đường kính $d = 1$ cm được đặt trong dầu. Điện tích $q$ của quả bóng là bao nhiêu nếu quả bóng lơ lửng trong dầu trong điện trường đều? Cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên và $|\vec{E}| = 36000$ V/cm. Mật độ của dầu là $\rho_1 = 800$ ke/cm³, đồng $\rho_2 = 8600$ ke/m³.
4. Một thấu kính thủy tinh mỏng có công suất quang $D_1 = 5$ dnmr trong không khí. Chiết suất của thủy tinh là $n_1 = 1,5$. Nếu nhúng một thấu kính vào chất lỏng có chiết suất $n_2$ thì nó đóng vai trò là thấu kính phân kỳ có tiêu cự $F_2 = -90$ cm. Xác định $n_2$.

N. Kvacheva,
O. Malyukov,
V. Trenoin

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow
Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow (MIEM) là một trong những trường đại học trẻ nhất ở Moscow. Sự sáng tạo của nó là kết quả của sự phát triển nhanh chóng của điện tử vô tuyến, thiết bị điện từ và điện áp cao, công nghệ máy tính và hỗ trợ toán học cho máy tính hiện đại, đòi hỏi một số lượng lớn các chuyên ngành kết hợp kiến ​​thức kỹ thuật sâu với đào tạo vật lý và toán học xuất sắc.

MIEM có các khoa sau: kỹ thuật bán dẫn và điện, tự động hóa và kỹ thuật máy tính, kỹ thuật vô tuyến, toán ứng dụng, buổi tối và hai khoa đặc biệt về toán ứng dụng và hệ thống điều khiển tự động.

MIEM cũng có khoa dự bị, nơi các lớp học được tiến hành toàn thời gian. Tại bộ phận dự bị, công việc nâng cao và những người bị loại khỏi hàng ngũ Quân đội Liên Xô phải học trong 8 tháng. Tất cả sinh viên khoa dự bị đều nhận được học bổng giống như sinh viên năm thứ nhất, và sau khi vượt qua kỳ thi cuối kỳ thành công, họ sẽ được ghi danh vào năm thứ nhất của học viện mà không cần thi bổ sung.

Một đặc điểm đặc trưng của việc đào tạo kỹ sư tại MIEM là sự kết hợp giữa tính chất chức năng và ứng dụng của giáo dục, mang lại khả năng đào tạo cao về thể chất và toán học.

Đương nhiên, tính nhất quán này được tính đến khi lựa chọn ứng viên cho các đơn vị tấn công.

Dưới đây là các lựa chọn cho các bản sao giới thiệu về toán học và bản sao miệng bài toán về vật lý tại MIEM năm 1976.

Matematika
Tùy chọn 1

1. Máy tính phải giải hai bài toán. Đầu tiên bao gồm 9 triệu thao tác loại $A$ và 16 triệu thao tác loại $B$ và yêu cầu thời gian sử dụng máy tính là 11 phút 40 giây. bài toán thứ hai chứa thêm hai thao tác thuộc loại $A$ và một nửa số thao tác thuộc loại $B$; trên lời giải máy mất 13 phút 20 giây. Máy tính có thể thực hiện bao nhiêu thao tác của mỗi loại trong vài giây?
2. Giải phương trình
   $$\frac{4}{3}\sin x = \frac{9\sin x - 2\sin 3x - 9\sin 7x}{\cos^2 2x + 4\cos 4x}$$

và tìm tổng các nghiệm của nó nằm trong khoảng - 12; 39 [.

3. Giải phương trình ($a > 0, b > 0$):
   $$\frac{1 - ax}{1 + ax}\sqrt{\frac{1 + bx}{1 - bx}} = 1.$$

85

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_a (x - 2) + \log_a x > 1.$$
5. Đáy của lăng trụ đứng là một tam giác vuông, độ dài cạnh huyền là $c$ và giá trị của góc nhọn là $\alpha$. Một mặt phẳng được vẽ đi qua cạnh huyền của đáy dưới và đỉnh của góc vuông của đáy trên, tạo thành một góc nhị diện có độ lớn $\beta$ với mặt phẳng của đáy. Xác định thể tích của hình lăng trụ tam giác bị cắt khỏi lăng kính bằng một mặt phẳng.

Tùy chọn 2

1. Khi làm việc đồng thời, hai máy kéo nhãn hiệu $A$ và một máy kéo nhãn hiệu $B$ có thể cày ruộng 400 mét vuông $ea$ trong 10 ngày. Một máy kéo nhãn hiệu $B$ có thể cày ruộng này nhanh hơn $8^{1/3}$ ngày so với một máy kéo nhãn hiệu $A$. Hỏi trong thời gian nào 4 máy kéo nhãn hiệu $A$ và ba máy kéo nhãn hiệu $B$ có thể cày được một cánh đồng 960 $ea$?

2. Giải phương trình.
   $$\frac{3 \sin 4x + 2 \sin 2x}{3 \cos 4x + 2 \cos 2x + 3} + 2 \mathrm{tg} x = 0$$
   và tìm tổng các nghiệm của nó nằm trong khoảng ]—18; 53[.

3. Giải bất đẳng thức $$\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \geq \frac{3}{2}.$$

4. Giải phương trình
   $$\sqrt{1 + \log_x \sqrt{a^3}} \cdot \log_a x + 1 = 0.$$

5. Trong một tứ giác nguyên thủy đều, trong đó chiều cao chiều dài $H$ tạo một góc có độ lớn $\alpha$ với cạnh bên, một mặt phẳng được vẽ qua đường chéo của đáy một góc $\beta$ với đáy. Xác định các diện tích mặt cắt.

V. Tonyan

Vật lý

1. Vật 1 được ném thẳng đứng lên trên với tốc độ ban đầu $|\vec{v}_0| = 30 \text{ m/sec}$ (Hình 1). Vật 2 nằm ở độ cao $h = 40 \text{ m}$ so với bề mặt Trái đất, được ném theo phương ngang với tốc độ $|\vec{u}| = 20 \text{ m/sec}$. Với thao tác chìm hoặc thao tác nào, cần phải ném vật thứ hai sao cho các vật va chạm vào nhau trong không khí, nếu $s = 20 \text{ m}$ và $|\vec{g}| = 10 \text{ m/sec}^2$? Sức cản không khí là một thách thức.

2. Hai vật có khối lượng $m_1 = 200 \text{ e}$ và $m_2 = 300 \text{ e}$, chuyển động với vận tốc $|\vec{v}_1| = 4 \text{ m/sec}$ và $|\vec{v}_2| = 3 \text{ m/sec}$, hướng vuông góc với nhau, xảy ra va chạm không đàn hồi. Sau va chạm chúng chuyển động thành một khối. Nhiệt độ của những vật này tăng bao nhiêu độ nếu nhiệt độ riêng của chúng bằng và bằng $c = 0,03 \text{ кал/(e·эрад)}$?

3. Hai tải có cùng khối lượng, được nối với nhau bằng một thanh không trọng lượng, dao động (Hình 2). Khoảng cách từ điểm treo $O$ đến một trong các tải $r = 10 \text{ cm}$ và đến điểm khác $R = 30 \text{ cm}$. Thanh đi qua vị trí cân bằng với vận tốc góc bằng bao nhiêu nếu góc lệch lớn nhất của thanh so với phương thẳng đứng là $\theta = 60^\circ$?

4. Trong hai phần của hình trụ, được ngăn cách bởi một pít-tông $A$, tìm thấy các khối lượng khác nhau $m_1$ và $m_2$ của không khí ở cùng nhiệt độ (Hình 3). Đầu bên phải của xi lanh được đóng lại bằng một pít-tông chuyển động $B$. Piston $A$ sẽ chuyển động bao nhiêu nếu piston $B$ bị dịch chuyển sang phải một khoảng $b = 4 \text{ cm}$? Ở trạng thái cân bằng, nhiệt độ ban đầu trong xi lanh được thiết lập. Tỷ lệ khối lượng $m_1/m_2 = 3$.